Chứng minh BĐT

[fansontungmtp]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãm x+y \leq z. Chứng minh rằng:
( $ x^2 $ + $ y^2 $ + $ z^2 $ )( $ \dfrac{1}{x^2} $ + $ \dfrac{1}{y^2} $ + $ \dfrac{1}{z^2} $ ) \geq $ \dfrac{27}{2} $

 

[huynhbachkhoa23]

Đã giải tại đây: http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=2554502&postcount=5

 

[deadguy]

$z ≥ x+y ≥ 2can(xy)$
$=> z^2/xy ≥ 4$
$x^2+y^2 ≥ 2xy$
$1/x^2+1/y^2 ≥ 2/xy$
$P= (x^2+y^2+z^2)(1/x^2+1/y^2+1/z^2) ≥ (2xy + z^2)(2/xy + 1/z^2) = 5 + 2.(z^2/xy) + 2.(xy/z^2)$
Đặt $t= z^2/xy ≥ 4$
Ta có: $f(t) = 2t + 2/t +5$
$P >= f(t)$
Xét hàm $f(t)$ trên [4; dương vô cùng)
Đạo hàm $f ' (t) = 2- 2/t^2$ = 0 khi $t = 1$.
Khi đó f ' (t) > 0 trên [4; dương vô cùng)
Suy ra: f(t) ≥ f(4) = 27/2.
Dấu = xảy ra khi t= 4 và x=y hay x=y = z/2.
Vậy $(x^2+y^2+z^2)(1/x^2+1/y^2+1/z^2) ≥ 27/2$
Xác nhận dùm mình !

 

[huynhbachkhoa23]

Ờ, dồn biến dũng hay đấy =))

Nhưng không cần đạo hàm đâu em.

Với mọi $t_1>t_2 \ge 4$ thì:

$f(t_1)-f(t_2)=2t_1-2t_2+\dfrac{2}{t_1}-\dfrac{2}{t_2}=... > 0$ nên hàm đồng biến khi $t\ge 4$ (bước này dùng $\Delta t$ cũng được)

$\rightarrow f(t) \ge f(4)$

Nếu sử dụng đạo hàm như thế thì chỉ cần nói $f'(t) > 0$ với $t\ge 4$ thôi.