Chứng minh BĐT

[trungkien199]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Các số a,b,c thuộc [-1;4] thỏa mãn điều kiện $a+2b+3c $\leq$4$
Chứng minh BĐT: $a^2+2b^+3c^2$\leq$36$
2)Tìm các số thực x,y thỏa mãn
$(x^2+1)^2y^2+16x^2+\sqrt[]{x^2-2x-y^3+9}$=$8x^3y+8xy$

 

[teo_daica_haha]

Từ đề ra có [TEX] a + 2b + 3c[/TEX] \leq 4, hay [TEX](a + 1) + 2(b - 4) + 3(c + 1)[/TEX] \leq 0 (*). Đặt [TEX] x = a + 1[/TEX], [TEX] y = b - 4 [/TEX],[TEX] z = c + 1 [/TEX]. Vì [TEX] -1 \leq a,b,c \leq 4 [/TEX] nên [TEX]0 \leq x,z \leq 5 , -5 \leq y \leq0[/TEX] và điều kiện (*) trở thành [TEX] x + 2y + 3z \leq 0 [/TEX]. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
[TEX] (x - 1)^2 + 2(y + 4)^2 + 3(z - 1)^2 \leq 0[/TEX];
hay [TEX] x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2x + 16y - 6z \leq 0[/TEX];
hay [TEX]x(x - 5) + 2y(y + 5) + 3z(z - 5) + 3(x + 2y + 3z) \leq 0[/TEX] (**). Vì [TEX] 0 \leq x,z \leq 5, -5 \leq y \leq 0[/TEX] nên [TEX]x(x - 5) \leq 0[/TEX] và [TEX] z(z - 5) \leq 0[/TEX] và [TEX]y(y + 5) \leq 0[/TEX], đồng thời[TEX] x + 2y + 3z \leq 0[/TEX]. Vậy bất đẳng thức (**) đúng, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi[TEX] x = y = z = 0\Leftrightarrow a = c = -1 .[/TEX] và[TEX] b=4[/TEX]

 

[vuive_yeudoi]

1)Các số a,b,c thuộc [-1;4] thỏa mãn điều kiện $a+2b+3c $\leq$4$
Chứng minh BĐT: $a^2+2b^2+3c^2$\leq$36$

Với các số thực $ t \in \left[-1 \ ; \ 4 \right] $ ta luôn có
$$ t^2 \le 3t+4 $$
Chuyện đó đúng bởi vì
$$ t^2-3t-4=\left( t+1 \right) \left( t-4 \right) \le 0 $$
Như vậy
$$ a^2+2b^2+3c^2 \le 3 \left(a+2b+3c \right)+24 \le 36 $$
Đó là điều cần chứng minh .

 

[trungkien199]

Từ đề ra có [TEX] a + 2b + 3c[/TEX] \leq 4, hay [TEX](a + 1) + 2(b - 4) + 3(c + 1)[/TEX] \leq 0 (*). Đặt [TEX] x = a + 1[/TEX], [TEX] y = b - 4 [/TEX],[TEX] z = c + 1 [/TEX]. Vì [TEX] -1 \leq a,b,c \leq 4 [/TEX] nên [TEX]0 \leq x,z \leq 5 , -5 \leq y \leq0[/TEX] và điều kiện (*) trở thành [TEX] x + 2y + 3z \leq 0 [/TEX]. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
[TEX] (x - 1)^2 + 2(y + 4)^2 + 3(z - 1)^2 \leq 0[/TEX];
hay [TEX] x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2x + 16y - 6z \leq 0[/TEX];
hay [TEX]x(x - 5) + 2y(y + 5) + 3z(z - 5) + 3(x + 2y + 3z) \leq 0[/TEX] (**). Vì [TEX] 0 \leq x,z \leq 5, -5 \leq y \leq 0[/TEX] nên [TEX]x(x - 5) \leq 0[/TEX] và [TEX] z(z - 5) \leq 0[/TEX] và [TEX]y(y + 5) \leq 0[/TEX], đồng thời[TEX] x + 2y + 3z \leq 0[/TEX]. Vậy bất đẳng thức (**) đúng, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi[TEX] x = y = z = 0\Leftrightarrow a = c = -1 .[/TEX] và[TEX] b=4[/TEX]

- Cái chỗ hay [TEX] x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2x + 16y - 6z \leq 0[/TEX]
bạn vứt đâu mất 1+32+1=34 rồi vậy

 

[soicon_boy_9x]

Bài 2:

$\leftrightarrow [(x^2+1)y-4x]^2=-\sqrt{x^2-2x-y^3+9}$

Từ đây suy ra cả 2 vế bằng 0

Dễ rồi