Chứng minh BDT

[baochauhn1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho: $x;y;z$>$0$ và: $x+y+z$\leq$1$. CMR:
$P=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}$\geq$\sqrt{82}$

 

[congchuaanhsang]

Cho: $x;y;z$>$0$ và: $x+y+z$\leq$1$. CMR:
$P=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}$\geq$\sqrt{82}$

Ta dự đoán dấu = xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}$

Theo Cauchy-Schwarz: $(1+81)(x^2+\dfrac{1}{x^2})$ \geq $(x+\dfrac{9}{x})^2$

\Leftrightarrow $\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}$ \geq $\dfrac{x+\dfrac{9}{x}}{\sqrt{82}}$

Tương tự rồi cộng từng vế ta được:

$VT$ \geq $\dfrac{x+y+z+\dfrac{9}{x}+\dfrac{9}{y}+\dfrac{9}{z}}{\sqrt{82}}$

\Rightarrow $VT$ \geq $\dfrac{x+y+z+\dfrac{81}{x+y+z}}{\sqrt{82}}$

(Áp dụng $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ \geq $\dfrac{9}{a+b+c}$)

\Leftrightarrow $VT$ \geq $\dfrac{(x+y+z+\dfrac{1}{x+y+z})+\dfrac{80}{x+y+z}}{\sqrt{82}}$

\Rightarrow $VT$ \geq $\dfrac{82}{\sqrt{82}}=\sqrt{82}=VP$

(do áp dụng Cauchy và $x+y+z$ \leq 1 )

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x=y=z=\dfrac{1}{3}$