Chứng minh bđt

[hoang_duythanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z>0
Cm:$\sqrt[]{\frac{x}{y+z}}+\sqrt[]{\frac{y}{x+z}}+\sqrt[]{\frac{z}{y+x}}>2$

 

[braga]

Đặt [TEX]t=x+y+z[/TEX]
Ta có: [TEX]\sqrt{\(\frac{y+z}{x}\).1} \leq \frac{\frac{y+z}{x}+1}{2}=\frac{\frac{y+z+x}{x}}{2}=\frac{t}{2x}[/TEX]
Hay [TEX]\sqrt{\frac{y+z}{x}}\geq \frac{2x}{t}[/TEX]
Tượng tự: [TEX]\Rightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}[/TEX][TEX]+\sqrt{\frac{z}{x+y}} \geq \frac{2x+2y+2z}{t}=2[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]\frac{y+z}{x}=1 \ ; \ \frac{x+z}{y}=1 \ ; \ \frac{x+y}{z}=1[/TEX]. Hay [TEX]\{x=y+z \\ y=x+z \\ z=x+y[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+y+z=2(x+y+z) \Rightarrow x+y+z=0[/TEX] điều này không xảy ra vì [TEX]x,y,z>0[/TEX]
Từ đó suy ra điều phải chứng minh