Toán 12 Chứng minh BDT

[namnhict]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c khong am va thoa man a+b+c=3
CMR {ab}^{4/3} +{bc}^{4/3} +{ca}^{4/3} <=3

 

[kebactinh9x]

Áp dụng bdt Cauchy có: [TEX](ab)^{\frac{4}{3}}=ab.\sqrt[3]{ab}\leq \frac{ab(a+b+1)}{3}[/TEX].
Suy ra [TEX](ab)^{\frac{4}{3}}+(bc)^{\frac{4}{3}}+(ca)^{\frac{4}{3}}\leq \frac{1}{3}(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+ab+bc+ca)[/TEX] (1)
Theo BDT Schur ta có : [TEX](a+b+c)^3+9abc \geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca) \Rightarrow 9+3abc \geq 4(ab+bc+ca)[/TEX] (do [TEX]a+b+c=3[/TEX])
[TEX]\Rightarrow ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+ab+bc+ca=(a+b+c)(ab+bc+ca)+ab+bc+ca-3abc=4(ab+bc+ca)-3abc \leq 9[/TEX] (2)
Từ (1) và (2) [TEX]\Rightarrow[/TEX] đpcm.