Chứng minh BĐt

[nanghoctro_a1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a>0, b>0,c>0. Chứng minh:

$\frac{a^3}{b^2+bc+c^2} + \frac{b^3}{a^2+ac+c^2} + \frac{c^3}{b^2+ba+a^2} \ge \frac{a+b+c}{3}$

Mọi người cố gắng nghiên cứu hộ với>-%%-*-

 

[region2]

[tex]\frac{a^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{b^3}{a^2+ac+c^2}+ \frac{c^3}{b^2+ba+a^2} \geq \frac{a+b+c}{3}[/tex]

 

[asroma11235]

Bài này không khó:
Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
[TEX]\sum \frac{a^4}{a(b^2+bc+c^2)} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab+bc+ca)(a+b+c)} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c} \geq \frac{a+b+c}{3}.[/TEX]
Đúng vì ta có các bất đẳng thức phụ:
[TEX]a(b^2+bc+c^2)+b(c^2+ca+a^2)+c(a^2+ab+b^2)=(ab+bc+ca)(a+b+c)[/TEX]
[TEX]\frac{(a+b+c)^2}{3} \leq a^2+b^2+c^2[/TEX]
[TEX]a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca[/TEX]
Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c[/TEX]