chung minh BĐT

[manhxuanminh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z thoả mãn xyz=1.CM:
căn(1+x^3+y^3)/zy +căn(1+y^3+z^3)/yz +căn(1+z^3+x^3)/zx \geq3căn3

 

[niemkieuloveahbu]

Bài này em sai đề ở cái đầu tiên,đề đúng thế này:

[TEX]\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\frac{\sqrt{1+x^3+z^3}}{xz} \geq 3\sqrt{3}[/TEX]

Dễ thấy x,y,z >0

Áp dụng AM-GM:

[TEX]1+x^3+y^3 \geq 3\sqrt[3]{x^3y^3}=3xy\\ \Rightarrow \sqrt{1+x^3+y^3} \geq \sqrt{3xy}\\ \Rightarrow \frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy} \geq \frac{\sqrt{3xy}}{xy}\\ \Rightarrow \sum_{cyc}\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy} \geq \sum_{cyc}\frac{\sqrt{3xy}}{xy}\\ Ma: \sum_{cyc}\frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\sqrt{3}(\sqrt{xyz^2}+\sqrt{yzx^2}+\sqrt{zxy^2}) \geq^{AM-GM} 3\sqrt{3}\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3\sqrt{3}\\ \Rightarrow \sum_{cyc}\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy} \geq 3\sqrt{3}(dpcm)[/TEX]