@Ann Lee, bài 14 mình có cách giải như này, mình muốn bạn xem xét lại bài làm của mình liệu có được không, bạn giúp mình nhé.
ĐK: [tex]x,y,z\geq 0[/tex]
Với [tex]x=0,y\in \mathbb{N}[/tex] thì [tex]z=0[/tex]
Với[tex]y=1,x=a^{2}(a\in \mathbb{Z})[/tex] thì [tex]z=a[/tex] với [tex]a\geq 0[/tex] và [tex]z=-a[/tex] với [tex]a< 0[/tex]
Với [tex]y> 1[/tex], để pt có nghiệm nguyên thì [tex]\sqrt{x+\sqrt{x}}\in \mathbb{N}[/tex] [tex]\Leftrightarrow x+\sqrt{x}\in \mathbb{N} \Leftrightarrow \sqrt{x}\in \mathbb{N} \Leftrightarrow x=b^{2} (b\in \mathbb{N},b> 0)[/tex]
Mình muốn giải thích chút là vì sao pt có nghiệm nguyên (dương) khi [tex]\sqrt{x+\sqrt{x}}\in \mathbb{N}[/tex], vì chẳng hạn với y=2 ta có [tex]z= \sqrt{x+\sqrt{x}}\in \mathbb{N}[/tex]; với y=3 thì [tex]z=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\in \mathbb{N}\Rightarrow x+\sqrt{x+\sqrt{x}}\in \mathbb{N} \Rightarrow[/tex] (ở đây chỉ có điều kiện suy ra 1 chiều, nhưng theo mình nếu [tex]\sqrt{x+\sqrt{x}}[/tex] là một số vô tỉ (trường hợp nguyên thì \sqrt{x} nguyên đã xét) thì [tex]x+\sqrt{x+\sqrt{x}}[/tex] vô tỉ, căn bậc 2 của số vô tỉ tiếp tục là số vô tỉ, cứ như thế vì y hữu hạn nên z theo x là 1 số vô tỉ.
Nói y hữu hạn, vì y được xác định trong tập N, cho y giá trị nào thì đó đều hữu hạn, còn nếu vô hạn có lẽ x=6, z=3 cũng là 1 nghiệm: [tex]\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}=3[/tex] (vô hạn dấu căn) và cùng nhiều nghiệm khác nữa.
Khi đó: [tex]\sqrt{x+\sqrt{x}}=\sqrt{b(b+1)}[/tex]
Vì [tex]b\in \mathbb{N},b> 0[/tex] nên [tex]b(b+1)[/tex] là tích của 2 stn liên tiếp
[tex]\Rightarrow b(b+1)\vdots 2,[/tex] và [tex]b(b+1)[/tex] không chia hết cho 4 [tex]\Rightarrow b(b+1)[/tex] không là scp [tex]\Rightarrow \sqrt{x}\notin \mathbb{N}[/tex] (mâu thuẫn)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
