Toán 9 chứng minh bđt [tex](x+1)^{2}.(\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x}+1) \geq 16[/tex]

[Tina68]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cmr với x>0 thì [tex](x+1)^{2}.(\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x}+1) \geq 16[/tex]
Dấu '=' xảy ra khi nào?
2. Cmr nếu a>0, b>0 thì [tex]\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}[/tex]
3.a. Cm [tex]x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}[/tex]
b. Cmr [tex]x^{4}+y^{4}\geq \frac{(x+y)^{4}}{8}[/tex]
c. Cho x>0, y>0 và x+y = 1. Cmr [tex]8(x^{4}+y^{4})+\frac{1}{xy}\geq 5[/tex]
4. Cmr [tex]x^{2}+x+1\geq 2.\left | x \right |.\sqrt{x+1}[/tex] với [tex]x\geq -1[/tex]
5. Cho [tex]x,y,z \geq 0[/tex]. Cmr [tex]x+y+z \geq \sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}[/tex]
6. Với [tex]x\geq 0,y\geq 0[/tex]. Cmr [tex](\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}\geq 2.\sqrt{2(x+y)\sqrt{xy}}[/tex]

 

[Kaito Kidㅤ]

Bài 1
[tex](x+1)^{2}.(\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x}+1) =(x+1)^2.(\frac{1}{x}+1)^2\geq 4x.\frac{4}{x}=16[/tex]
Dấu = xảy ra ki x=1
Bài 2
Dùng Cauchy
[tex]\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}+\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{a}\geq 2\sqrt{a}+2\sqrt{b}\rightarrow \frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}[/tex]
Bài 3 a.
[tex]x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2} \rightarrow 2x^2+2y^2\geq x^2+2xy+y^2\rightarrow x^2-2xy+y^2\geq 0\rightarrow (x-y)^2\geq 0[/tex] (luôn đúng)
b.
Dùng BĐT Bunhia
[tex](1^2+1^2)(x^4+y^4) \geq (x^2+y^2)^2 <=> x^4+y^4 \geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2}[/tex]
Dùng phần a
[tex]\frac{(x^2+y^2)^2}{2}\geq \frac{(\frac{(x+y)^2}{2})^2}{2}=\frac{\frac{(x+y)^4}{4}}{2}=\frac{(x+y)^4}{8}[/tex]
c. Dùng phần b:[tex]8(x^{4}+y^{4})\geq(x+y) ^{4}[/tex]
Áp dụng: [tex](x+y)^2\geq 4xy \rightarrow \frac{1}{xy}\geq \frac{4}{(x+y)^2}[/tex]
Thay vào [tex]8(x^{4}+y^{4})+\frac{1}{xy}\geq (x+y)^{4}+\frac{4}{(x+y)^{2}}=(x+y)^{4}+\frac{1}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{(x+y)^{2}}+\frac{2}{(x+y)^{2}}\geq 3+2=5[/tex]
Bài 4
x^2 dương ; x+1 dương ( x>=1 nên x+1 dương) nên ta dc dùng Cauchy
[tex]x^{2}+x+1\geq x^2+(x+1)\geq 2\sqrt{x^2.(x+1)}=2\left | x \right |\sqrt{(x+1)}[/tex]
Bài 5
Có 2 các là dùng Cauchy hoặc tương đương nhé đây mik làm Cauchy thôi
[tex]x+y\geq 2\sqrt{xy};y+z\geq 2\sqrt{yz};x+z\geq 2\sqrt{zx} \rightarrow 2(x+y+z)\geq 2(\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy})\rightarrow dpcm[/tex]

 

[Aki-chan]

Hốt cho em câu còn lại :v
Dùng bđt cosi
[tex](\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}=x+2\sqrt{xy}+y=(x+y)+2\sqrt{xy}\geq 2\sqrt{(x+y).2\sqrt{xy}}[/tex]

 

[Tina68]

Bài 1
[tex](x+1)^{2}.(\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x}+1) =(x+1)^2.(\frac{1}{x}+1)^2\geq 4x.\frac{4}{x}=16[/tex]
Dấu = xảy ra ki x=1
Bài 2
Dùng Cauchy
[tex]\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}+\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{a}\geq 2\sqrt{a}+2\sqrt{b}\rightarrow \frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}[/tex]
Bài 3 a.
[tex]x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2} \rightarrow 2x^2+2y^2\geq x^2+2xy+y^2\rightarrow x^2-2xy+y^2\geq 0\rightarrow (x-y)^2\geq 0[/tex] (luôn đúng)
b.
Dùng BĐT Bunhia
[tex](1^2+1^2)(x^4+y^4) \geq (x^2+y^2)^2 <=> x^4+y^4 \geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2}[/tex]
Dùng phần a
[tex]\frac{(x^2+y^2)^2}{2}\geq \frac{(\frac{(x+y)^2}{2})^2}{2}=\frac{\frac{(x+y)^4}{4}}{2}=\frac{(x+y)^4}{8}[/tex]
c. Dùng phần b:[tex]8(x^{4}+y^{4})\geq(x+y) ^{4}[/tex]
Áp dụng: [tex](x+y)^2\geq 4xy \rightarrow \frac{1}{xy}\geq \frac{4}{(x+y)^2}[/tex]
Thay vào [tex]8(x^{4}+y^{4})+\frac{1}{xy}\geq (x+y)^{4}+\frac{4}{(x+y)^{2}}=(x+y)^{4}+\frac{1}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{(x+y)^{2}}+\frac{2}{(x+y)^{2}}\geq 3+2=5[/tex]
Bài 4
x^2 dương ; x+1 dương ( x>=1 nên x+1 dương) nên ta dc dùng Cauchy
[tex]x^{2}+x+1\geq x^2+(x+1)\geq 2\sqrt{x^2.(x+1)}=2\left | x \right |\sqrt{(x+1)}[/tex]
Bài 5
Có 2 các là dùng Cauchy hoặc tương đương nhé đây mik làm Cauchy thôi
[tex]x+y\geq 2\sqrt{xy};y+z\geq 2\sqrt{yz};x+z\geq 2\sqrt{zx} \rightarrow 2(x+y+z)\geq 2(\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy})\rightarrow dpcm[/tex]

câu 1 mình ko hiểu

 

[Kaito Kidㅤ]

câu 1 mình ko hiểu

Ko hiểu chỗ nào hả bạn

 

[Tiểu Linh Hàn]

câu 1 mình ko hiểu

Câu 1 chỉ cần ad bđt Cauchy 2 lần là đc
Ad bđt Cauchy ta có: x + 1 >= 2 căn x => (x + 1)^2 >= (2 căn x)^2 = 4x
1/x + 1 >= 2 căn (1/x) => (1/x + 1)^2 >= (2 căn (1/x))^2 = 4 * 1/x = 4/x
Do x dương nên 4x và 4/x đều dương, khi đó kết hợp 2 cái trên với phần của bạn kia đã giải sẽ ra đpcm