Toán 9 Chứng minh BĐT khó

[Nguyen Ngoc Lam]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c >0 và a+b+c=6abc.
Chứng minh: [TEX]\dfrac{bc}{a^3(c+2b)}[/TEX] +[TEX]\dfrac{ac}{b^3(a+2c)}[/TEX] +[TEX]\dfrac{ba}{c^3(b+2a)}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] 2

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

Đặt [tex]a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\\ a+b+c=6abc\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{6}{xyz}\\ \Leftrightarrow xy+yz+xz=6[/tex]
Khi đó: [tex]\frac{bc}{a^3(c+2b)}=\frac{\frac{1}{yz}}{\frac{1}{x^3}(\frac{1}{z}+\frac{2}{y})}=\frac{\frac{1}{yz}}{\frac{2z+y}{x^3yz}}=\frac{x^3}{2z+y}\\[/tex]
Tương tự, [tex]\frac{ac}{b^3(a+2c)}=\frac{y^3}{2x+z};\frac{ab}{c^3(b+2a)}=\frac{z^3}{2y+x}[/tex]
BĐT cần chứng minh tương đương: [tex]\frac{x^3}{2z+y}+\frac{y^3}{2x+z}+\frac{z^3}{2y+x}\geq 2\\ VT=\frac{x^4}{2xz+yx}+\frac{y^4}{2xy+yz}+\frac{z^4}{2yz+xz}\geq \frac{2(x^2+y^2+z^2)}{3(xy+yz+xz)}(Cauchy-Schwarz)\\ \geq \frac{x^2+y^2+z^2}{3(xy+yz+xz)}=\frac{6^2}{3.6}=2[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]\left\{\begin{matrix} x=y=z & \\ xy+yz+xz=6 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

 

[Nguyen Ngoc Lam]

Đặt [tex]a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\\ a+b+c=6abc\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{6}{xyz}\\ \Leftrightarrow xy+yz+xz=6[/tex]
Khi đó: [tex]\frac{bc}{a^3(c+2b)}=\frac{\frac{1}{yz}}{\frac{1}{x^3}(\frac{1}{z}+\frac{2}{y})}=\frac{\frac{1}{yz}}{\frac{2z+y}{x^3yz}}=\frac{x^3}{2z+y}\\[/tex]
Tương tự, [tex]\frac{ac}{b^3(a+2c)}=\frac{y^3}{2x+z};\frac{ab}{c^3(b+2a)}=\frac{z^3}{2y+x}[/tex]
BĐT cần chứng minh tương đương: [tex]\frac{x^3}{2z+y}+\frac{y^3}{2x+z}+\frac{z^3}{2y+x}\geq 2\\ VT=\frac{x^4}{2xz+yx}+\frac{y^4}{2xy+yz}+\frac{z^4}{2yz+xz}\geq \frac{2(x^2+y^2+z^2)}{3(xy+yz+xz)}(Cauchy-Schwarz)\\ \geq \frac{x^2+y^2+z^2}{3(xy+yz+xz)}=\frac{6^2}{3.6}=2[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]\left\{\begin{matrix} x=y=z & \\ xy+yz+xz=6 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

Bạn cho mình hỏi vì sao [tex]\frac{x^4}{2xz+yx}+\frac{y^4}{2xy+yz}+\frac{z^4}{2yz+xz}\geq \frac{2(x^2+y^2+z^2)}{3(xy+yz+xz)}[/tex]

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

Bạn cho mình hỏi vì sao [tex]\frac{x^4}{2xz+yx}+\frac{y^4}{2xy+yz}+\frac{z^4}{2yz+xz}\geq \frac{2(x^2+y^2+z^2)}{3(xy+yz+xz)}[/tex]

bđt cô si dạng engel
Chết chết, bỏ dòng đó đi ạ, lấy dòng dưới thôi, không có số 2 đâu, mình gõ nhầm mà chưa xóa