Chứng minh giúp mình BĐT Côsi với n số ko âm, dùng phương pháp quy nạp đó nha :|
Thanks trước
Bài toán này đã có trong một số tài liệu, mình xin post lên để bạn tham khảo
Bất đẳng thức Cô- si :
cho dãy số không âm [TEX]a_1,a_2,...,a_n[/TEX]. Chứng minh rằng
[TEX]\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}[/TEX] và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [TEX]a_1=a_2=...=a_n[/TEX]
chứng minh bằng quy nạp:
Với n=2 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì
[TEX]\frac{a_1+a_2}{2}-\sqrt{a_1a_2} =\frac{(\sqrt a_1-\sqrt a_2)^{2}}{2} \geq 0[/TEX] và dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow [TEX]a_1=a_2[/TEX]
giả sử bất đẳng thức Cô- si đúng đến n .Khi đó
[TEX]S= \frac{a_1+a_2+...+a_n+a_{n+1}}{n+1}=\frac{n.(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n})+a_{n+1}}{n+1} ^{(1)}[/TEX]
áp dụng giả thiết quy nạp ta có :
[TEX]S \geq \frac{n.\sqrt[n]{a_1a_2...a_{n+1}}}{n+1} ^{(2)}[/TEX]
đặt [TEX]a_1a_2...a_n = \alpha ^{n(n+1)}[/TEX] và [TEX]a_{n+1}= \beta^{n+1}[/TEX], khi đó từ (2) suy ra
[TEX]\frac{a_1+a_2+...+a_n+a_{n+1}}{n+1}- \sqrt[n+1]{a_1a_2...a_{n+1}} \geq \frac{n\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}}{n+1}- \alpha^{n}\beta ^{(3)}[/TEX].Ta lại có:
[TEX]\frac{n\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}}{n+1}-\alpha^{n}\beta[/TEX]
= [TEX]\frac{n\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}-n\alpha^{n}\beta - \alpha^{n}\beta}{n+1}[/TEX]
= [TEX]\frac{1}{n+1}[n\alpha^{n}(\alpha-\beta)-\beta(\alpha^{n}-\beta^{n})][/TEX]
=[TEX] \frac{\alpha-\beta}{n+1}[n\alpha^{n}-\beta\alpha^{n-1}-\beta^{2}\alpha^{n-2}-...-\beta^{n}][/TEX]
= [TEX]\frac{\alpha-\beta}{n+1}[\alpha^{n}-\beta\alpha^{n-1}+\alpha^{n}-\beta^{2}\alpha^{n-2}+...+\alpha^{n}-\beta^{n}[/TEX]
=[TEX]\frac{(\alpha-\beta)^2}{n+1}[\alpha^{n-1}+\alpha^{n-2}(\alpha+\beta)+\alpha^{n-3}(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)+...+(\alpha^{n-1}+\alpha^{n-2}\beta+...+\beta^{n-1})] \geq 0[/TEX]
vậy từ (3) suy ra
[TEX]\frac{a_1+a_2+...+a_n+a_{n+1}}{n+1} \geq \sqrt[n+1]{a_1a_2...a_{n+1}}[/TEX]
vậy bất đẳng thức cũng đúng với n+1.
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow [TEX]\alpha =\beta \Leftrightarrow a_1a_2...a_n= a_{n+1}^{n}[/TEX]. Tương tự ta có thể thấy rằng [TEX]a_1a_2...a_n=a_n^{n-1}[/TEX].Từ đó suy ra [TEX]a_n=a_{n+1}[/TEX] bằng cách này sẽ chứng minh được [TEX]a_1=a_2=...a_n[/TEX].
Bất đẳng thức Cô-si được chúng minh hoàn toàn
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn