Toán 10 Chứng minh BĐT bằng phương pháp quy nạp toán học

[Cinderella Lê]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c >0 và thỏa[tex]\frac{1}{a_{1}+1}+\frac{1}{a_{2}+1}+...+\frac{1}{a_{n}+1}=1[/tex].
Chứng minh rằng: [tex]a_{1}.a_{2}...a_{n}\geq (n-1)^{n}[/tex]

 

[iceghost]

Mình góp một cách không dùng quy nạp: Từ gt chuyển $\dfrac1{a_1+1}$ ra $VP$ rồi quy đồng suy ra $$\dfrac{a_1}{a_1 + 1} = \dfrac1{a_2+1} + \dfrac1{a_3+1} + \ldots + \dfrac1{a_n+1} \geqslant (n-1) \dfrac1{\sqrt[n-1]{(a_2+1)(a_3+1)\ldots(a_n+1)}}$$
Tương tự ta cũng chuyển $\dfrac1{a_2+1}$ rồi $\dfrac1{a_3+1}$ rồi..., sau đó nhân tất cả vế theo vế ta suy ra $$\dfrac{a_1 \cdot a_2 \ldots a_n}{(a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_n+1)} \geqslant (n-1)^n \dfrac1{(a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_n+1)}$$
Suy ra đpcm