chứng minh bất pt

[hoangviet177]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

với a+b+c=1
CMR: [TEX]\frac{1}{{3}^{a}}+\frac{1}{{3}^{b}}+\frac{1}{{3}^{c}} \geq 3(\frac{a}{{3}^{a}}+\frac{b}{{3}^{b}}+\frac{c}{{3}^{c}})[/TEX]

 

[hoangviet177]

mình đã tìm ra cách giải ^^
Giả sử [TEX]a\leq b\leq c[/TEX]
có:
[TEX]\left(a-b \right)\left(\frac{1}{{3}^{a}} -\frac{1}{{3}^{b}}\right) \leq 0[/TEX] (1)
[TEX]\left(b-c \right)\left(\frac{1}{{3}^{b}} -\frac{1}{{3}^{c}}\right) \leq 0[/TEX] (2)
[TEX]\left(a-c \right)\left(\frac{1}{{3}^{a}} -\frac{1}{{3}^{c}}\right) \leq 0[/TEX] (3)
(1)+(2)+(3) [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX]\frac{2a}{{3}^{a}}+\frac{2b}{{3}^{b}}+\frac{2c}{{3}^{c}}-\left(\frac{b+c}{{3}^{a}}+\frac{a+c}{{3}^{b}}+ \frac{a+b}{{3}^{c}} \right) \leq 0[/TEX]
Thay b+c=1-a, a+c=1-b, b+c=1-a khai triển và rút gọn đc
[TEX]3\left( \frac{a}{{3}^{a}}+\frac{b}{{3}^{b}}+\frac{c}{{3}^{c}}\right)-\left(\frac{1}{{3}^{a}}+\frac{1}{{3}^{b}}+ \frac{1}{{3}^{c}} \right) \leq 0[/TEX]
từ đó CM đc BPT đã cho