chứng minh bất pt

[l94]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh:
[tex] \sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}[/tex]
tương tự:
[tex]2\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} \leq 2\sqrt{n+1}[/tex]
làm 2 bài này giúp mình nha.thanks

 

[cuccuong]

chứng minh:
[tex] \sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}[/tex]
tương tự:
[tex]2\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} \leq 2\sqrt{n+1}[/tex]
làm 2 bài này giúp mình nha.thanks

tạm thời vẫn chưa tìm đc cách hay hơn nhưng mà cũng xin trình bày cách quy đồng ))
[tex] \sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} \geq \sqrt{k+1}[/tex] (đk : [TEX]k \geq 0[/TEX] )
[TEX]\Leftrightarrow \frac{\sqrt{k(k+1)}+1}{\sqrt{k+1}} \geq \sqrt{k+1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{k(k+1)}+1} \geq k+1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow k^2+k \geq k^2[/TEX] (luôn đúng vì [TEX]k \geq 0[/TEX] )
suy ra bpt đc chứng minh. dấu "=" xảy ra [TEX]\Leftrightarrow k=0[/TEX]
bài 2 cũng quy đồng nốt
[tex]2\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} < 2\sqrt{k+1}[/tex]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{k(k+1)}+1}{\sqrt{k+1}} < 2\sqrt{k+1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2\sqrt{k(k+1)}+1 < 2k+2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{k(k+1)} < k + \frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow k^2 + k < k^2 + k + \frac{1}{4}[/TEX] (luôn đúng)
suy ra đpcm

 

[l94]

tạm thời vẫn chưa tìm đc cách hay hơn nhưng mà cũng xin trình bày cách quy đồng ))
[tex] \sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} \geq \sqrt{k+1}[/tex] (đk : [TEX]k \geq 0[/TEX] )
[TEX]\Leftrightarrow \frac{\sqrt{k(k+1)}+1}{\sqrt{k+1}} \geq \sqrt{k+1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{k(k+1)}+1} \geq k+1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow k^2+k \geq k^2[/TEX] (luôn đúng vì [TEX]k \geq 0[/TEX] )
suy ra bpt đc chứng minh. dấu "=" xảy ra [TEX]\Leftrightarrow k=0[/TEX]
bài 2 cũng quy đồng nốt
[tex]2\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} < 2\sqrt{k+1}[/tex]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{k(k+1)}+1}{\sqrt{k+1}} < 2\sqrt{k+1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2\sqrt{k(k+1)}+1 < 2k+2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{k(k+1)} < k + \frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow k^2 + k < k^2 + k + \frac{1}{4}[/TEX] (luôn đúng)
suy ra đpcm

Bạn có thể giải giúp mình bằng cách đặt ẩn phụ k? thks bạn nhiều

 

[nerversaynever]

chứng minh:
[tex] \sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}[/tex]
tương tự:
[tex]2\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} \leq 2\sqrt{n+1}[/tex]
làm 2 bài này giúp mình nha.thanks

Mấy cái này hiển nhiên mà em

[TEX]\begin{array}{l} 1. \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }} > \frac{1}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt k }} \\ 2. \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < \frac{2}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt k }} \Leftrightarrow \sqrt k < \sqrt {k + 1} \\ \end{array}[/TEX]

p/s có lẽ bài 1 em định ra đề thế này nhỉ?

[TEX]1.\sqrt k + \frac{1}{{2\sqrt k }} > \sqrt {k + 1} \Leftrightarrow \frac{1}{{2\sqrt k }} > \frac{1}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt k }}[/TEX]

 

[l94]

mọi người làm giúp em bài này:
[tex]\frac{2x}{\sqrt{2x+9}}<\sqrt{2x+1}-1[/tex](cách nàop cũng được, nhưng mà nhanh nhất ấy)
với cả bài này, em đang tìm nhiều cách giải hay:
[tex]\sqrt{x+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{x-\frac{1}{x^2}}>\frac{2}{x}[/tex]
tương tự:
[tex] \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \geq x[/tex]

 

[duynhana1]

Bạn sửa lại tiêu đề được không, chứng minh bất đẳng thức

Bài 1+3 : Nhân lượng liên hợp rồi chia 3 TH: x>0, x=0, x<0

 

[nerversaynever]

mọi người làm giúp em bài này:
[tex]\frac{2x}{\sqrt{2x+9}}<\sqrt{2x+1}-1[/tex](cách nàop cũng được, nhưng mà nhanh nhất ấy)
với cả bài này, em đang tìm nhiều cách giải hay:
[tex]\sqrt{x+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{x-\frac{1}{x^2}}>\frac{2}{x}[/tex]
tương tự:
[tex] \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \geq x[/tex]

ồ ko dám chém là nhanh nhất nhưng cũng nhanh
trước tiên sả chút
Bài 2
[TEX] \begin{array}{l} \sqrt {x + \frac{1}{{x^2 }}} + \sqrt {x - \frac{1}{{x^2 }}} \ge \frac{{\sqrt 2 }}{x};dk:x \ge 1 \\ \Leftrightarrow \sqrt {x^3 + x} + \sqrt {x^3 - x} \ge \sqrt 2 \\ \end{array}[/TEX] đúng vì x=>1

Bài 3 sửa chút ko thì sai( cho x=-1) và sửa thêm cho nó có dấu "="
cách này ko phải nhanh nhất nhưng đẹp
[TEX]\begin{array}{l} \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \ge \sqrt 2 x(1)x \in \left[ { - 1;1} \right] \\ \sqrt {1 + x} = \sqrt 2 \sin a = > \sqrt {1 - x} = \sqrt 2 c{\rm{os}}a;a \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \\ (1) \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\sin a + \cos a} \right) \ge \sqrt 2 \left( {\sin ^2 a - c{\rm{os}}^2 a} \right) \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\sin a + \cos a} \right)\left( {1 - \sin a + \cos a} \right) \ge 0 \\ \end{array}[/TEX] đúng vì sina;cosa=>0

 

[l94]

ồ ko dám chém là nhanh nhất nhưng cũng nhanh
trước tiên sả chút
Bài 2
[TEX] \begin{array}{l} \sqrt {x + \frac{1}{{x^2 }}} + \sqrt {x - \frac{1}{{x^2 }}} \ge \frac{{\sqrt 2 }}{x};dk:x \ge 1 \\ \Leftrightarrow \sqrt {x^3 + x} + \sqrt {x^3 - x} \ge \sqrt 2 \\ \end{array}[/TEX] đúng vì x=>1

Bài 3 sửa chút ko thì sai( cho x=-1) và sửa thêm cho nó có dấu "="
cách này ko phải nhanh nhất nhưng đẹp
[TEX]\begin{array}{l} \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \ge \sqrt 2 x(1)x \in \left[ { - 1;1} \right] \\ \sqrt {1 + x} = \sqrt 2 \sin a = > \sqrt {1 - x} = \sqrt 2 c{\rm{os}}a;a \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \\ (1) \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\sin a + \cos a} \right) \ge \sqrt 2 \left( {\sin ^2 a - c{\rm{os}}^2 a} \right) \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\sin a + \cos a} \right)\left( {1 - \sin a + \cos a} \right) \ge 0 \\ \end{array}[/TEX] đúng vì sina;cosa=>0

anh ơi, bài này là giải, chứ không phải chứng minh^^.đề không sai anh ạ

 

[nerversaynever]

anh ơi, bài này là giải, chứ không phải chứng minh^^.đề không sai anh ạ

À hóa ra anh hiểu nhầm, nhưng mà cũng ko sao hết, nó cũng na ná thôi
bài 1 thì ko có ý kiến

Bài 2
Điều kiện x>=1
Đặt
[TEX]\begin{array}{l} \sqrt {x + \frac{1}{{x^2 }}} = a;\sqrt {x - \frac{1}{{x^2 }}} = b,a > b \ge 0 \\ pt \Leftrightarrow a + b > \sqrt {2\left( {a^2 - b^2 } \right)} \Leftrightarrow \sqrt {a + b} > \sqrt {2\left( {a - b} \right)} \Leftrightarrow 3b \ge a \\ \Leftrightarrow 9\left( {x - \frac{1}{{x^2 }}} \right) > x + \frac{1}{{x^2 }} \Leftrightarrow 8x > \frac{{10}}{{x^2 }} \Leftrightarrow x > \sqrt[3]{{\frac{5}{4}}} \\ \end{array}[/TEX]

bài 2. vẫn cái sin, cos mà chém

[TEX]\begin{array}{l} \sqrt {1 + x} = \sqrt 2 \sin a = > \sqrt {1 - x} = \sqrt 2 c{\rm{os}}a;a \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \\ pt \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\sin a - \cos a} \right) \ge \left( {\sin ^2 a - \cos ^2 a} \right) \\ \Leftrightarrow 2\sin \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\left( {1 - \sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)} \right) \ge 0 \\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{2} \ge a \ge \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow 0 \le x \le 1 \\ \end{array}[/TEX]

 

[l94]

anh ơi, bài 2 cho em hỏi sao vế bên phải lại là [tex]\sqrt{2}[/tex] ạ.đề bài là 2 mà.
còn bài 1 anh ráng giải giúp em nha, tk a nhiều

 

[nerversaynever]

anh ơi, bài 2 cho em hỏi sao vế bên phải lại là [tex]\sqrt{2}[/tex] ạ.đề bài là 2 mà.
còn bài 1 anh ráng giải giúp em nha, tk a nhiều

Ối em ơi đây nhé
[TEX]\begin{array}{l} \sqrt {x + \frac{1}{{x^2 }}} = a;\sqrt {x - \frac{1}{{x^2 }}} = b; \\ = > \sqrt {2\left( {a^2 - b^2 } \right)} = \sqrt {2\left( {x + \frac{1}{{x^2 }} - x + \frac{1}{{x^2 }}} \right)} = \frac{2}{x} \\ \end{array}[/TEX]


Còn bài 1 ko phải là ko muốn giúp mà anh chưa thấy có cách nào đẹp ngoài cách truyền thống (hoặc cách na ná thế)