chứng minh bất phương trình

[komaldotrn@yahoo.com.vn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x>0 và Y>0 chứng minh : 1/x + 1/y \geq 1/(x+y)

 

[tuantai6a13]

Bài làm.

Áp dụng BĐT Cauchy với 2 số không âm, ta có :
$x+y$\geq $2\sqrt{xy}(1)$
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$\geq $\dfrac{2}{\sqrt{xy}}(2)$
Nhân (1) với (2) ta được :
$(x+y)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})$\geq $4$
\Leftrightarrow $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$\geq $\dfrac{4}{x+y}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}$
\Leftrightarrow $x=y$

 

[hanh7a2002123]

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

$\frac{a^2}{x}$+$\frac{b^2}{y}$ \geq $\frac{(a+b)^2}{x+y}$
Dâu "=" xảy ra \Leftrightarrow $\frac{a}{x}$=$\frac{b}{y}$
Áp dụng vào bài toán, ta được:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$\geq $\frac{(1+1)^2}{x+y}$
\Leftrightarrow $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$\geq $\frac{4}{x+y}$
\Leftrightarrow đpcm
Dấu " =" xảy ra \Leftrightarrow $ \frac{1}{x}$=$\frac{1}{y}$
\Leftrightarrow $x=y$