chứng minh bất phương trình

L

lananh040

Last edited by a moderator:
H

huynhbachkhoa23

Đặt x=a,y=b,z=cx=\sqrt{a}, y=\sqrt{b}, z=\sqrt{c} thì x4+y4+z4=3x^4+y^4+z^4=3 và bất đẳng thức trở thành:
x2y+y2z+z2xx2+y2+z2\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge x^2+y^2+z^2
Thực tế ta có một bất đẳng thức mạnh hơn:
x2y+y2z+z2x3x4+y4+z434\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge 3\sqrt[4]{\dfrac{x^4+y^4+z^4}{3}}
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
x2y+y2z+z2x(x2+y2+z2)2x2y+y2z+z2x\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2y+y^2z+z^2x}
Áp dụng tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
x2y+y2z+z2x(x2+y2+z2)(x2y2+y2z2+z2x2)x^2y+y^2z+z^2x\le \sqrt{(x^2+y^2+z^2)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}
Vậy là ta có:
x2y+y2z+z2x(x2+y2+z2)6(x2y2+y2z2+z2x2)24\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge \sqrt[4]{\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^6}{(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)^2}}
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
(x2+y2+z2)6=[x4+y4+z4+2(x2y2+y2z2+z2x2)]327(x4+y4+z4)(x2y2+y2z2+z2x2)2(x^2+y^2+z^2)^6=\left[x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\right]^3\ge 27(x^4+y^4+z^4)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)^2
Do đó:
x2y+y2z+z2x3x4+y4+z434\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge 3\sqrt[4]{\dfrac{x^4+y^4+z^4}{3}}
 
Last edited by a moderator:
H

huynhbachkhoa23

Tương tự bài toán này, ta có các bài toán sau:
Cho a,b,ca,b,c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức:
(i)        a22b+c+b22c+a+c22a+ba4+b4+c434(i) \;\;\;\; \dfrac{a^2}{2b+c}+\dfrac{b^2}{2c+a}+\dfrac{c^2}{2a+b}\ge \sqrt[4]{\dfrac{a^4+b^4+c^4}{3}}
(ii)        a2b+c+b2c+a+c2a+b32a5+b5+c535(ii)\;\;\;\; \dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}\sqrt[5]{\dfrac{a^5+b^5+c^5}{3}}
 
Top Bottom