Đặt
x = a , y = b , z = c x=\sqrt{a}, y=\sqrt{b}, z=\sqrt{c} x = a , y = b , z = c thì
x 4 + y 4 + z 4 = 3 x^4+y^4+z^4=3 x 4 + y 4 + z 4 = 3 và bất đẳng thức trở thành:
x 2 y + y 2 z + z 2 x ≥ x 2 + y 2 + z 2 \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge x^2+y^2+z^2 y x 2 + z y 2 + x z 2 ≥ x 2 + y 2 + z 2
Thực tế ta có một bất đẳng thức mạnh hơn:
x 2 y + y 2 z + z 2 x ≥ 3 x 4 + y 4 + z 4 3 4 \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge 3\sqrt[4]{\dfrac{x^4+y^4+z^4}{3}} y x 2 + z y 2 + x z 2 ≥ 3 4 3 x 4 + y 4 + z 4
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
x 2 y + y 2 z + z 2 x ≥ ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 x 2 y + y 2 z + z 2 x \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2y+y^2z+z^2x} y x 2 + z y 2 + x z 2 ≥ x 2 y + y 2 z + z 2 x ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2
Áp dụng tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
x 2 y + y 2 z + z 2 x ≤ ( x 2 + y 2 + z 2 ) ( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) x^2y+y^2z+z^2x\le \sqrt{(x^2+y^2+z^2)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)} x 2 y + y 2 z + z 2 x ≤ ( x 2 + y 2 + z 2 ) ( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 )
Vậy là ta có:
x 2 y + y 2 z + z 2 x ≥ ( x 2 + y 2 + z 2 ) 6 ( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) 2 4 \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge \sqrt[4]{\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^6}{(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)^2}} y x 2 + z y 2 + x z 2 ≥ 4 ( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 6
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
( x 2 + y 2 + z 2 ) 6 = [ x 4 + y 4 + z 4 + 2 ( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) ] 3 ≥ 27 ( x 4 + y 4 + z 4 ) ( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) 2 (x^2+y^2+z^2)^6=\left[x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\right]^3\ge 27(x^4+y^4+z^4)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)^2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 6 = [ x 4 + y 4 + z 4 + 2 ( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) ] 3 ≥ 2 7 ( x 4 + y 4 + z 4 ) ( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) 2
Do đó:
x 2 y + y 2 z + z 2 x ≥ 3 x 4 + y 4 + z 4 3 4 \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge 3\sqrt[4]{\dfrac{x^4+y^4+z^4}{3}} y x 2 + z y 2 + x z 2 ≥ 3 4 3 x 4 + y 4 + z 4
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn