Chứng minh bất phương trình

F

flames.of.desire

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho 2 số a và b thỏa mãn a\geq1 và b\geq1.
Chứng minh [TEX]\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\geq\frac{2}{a^2+b^2}[/TEX]
Bài 2:
Cho 2 số dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
[TEX]D = x^2 + 3x +y^2 + 3y + \frac{9}{x^2 + y^2 +1} [/TEX]
 
Last edited by a moderator:
N

nguyenbahiep1

Bài 1: Cho 2 số a và b thỏa mãn a
lon.gif
1 và b
lon.gif
1.
Chứng minh
latex.php
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


[laTEX]x = a^2 \geq 1 \\ \\ y = b^2 \geq 1 \\ \\ \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} \geq \frac{2}{x+y} \\ \\ \frac{x+y+2}{xy+x+y+1} \geq \frac{2}{x+y} \\ \\ (x+y)^2 + 2(x+y) \geq 2xy + 2(x+y) + 2 \\ \\ x^2+y^2 \geq 2 \\ \\ ta-co: x \geq 1 \Rightarrow x^2 \geq 1 , y^2 \geq 1 \\ \\ x^2+y^2 \geq 1+1 = 2 \Rightarrow dpcm \\ \\ x = y = 1 \Rightarrow a = b = 1 [/laTEX]
 
F

flames.of.desire

Bài 3: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn :[TEX]a^2+b^2+c^2 = \frac{5}{3}[/TEX]
Chứng minh BĐT [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{abc}[/TEX]
Bài 4: Chứng minh
[TEX]\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{5...\sqrt{2000}[/TEX] < 3
Bài 5: Chứng minh rằng n^5-5n^3+4n chia hết cho 120 với mọi số nguyên
 
O

oggyz2

Bài 5:
Ta có :
$n^{5}-5n^{3}+4n=n^{5}-4n^{3}-n^{3}+4n=(n^{2}-4)(n^{3}-n)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$
Vì đây là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên nó sẽ chia hết cho $1.2.3.4.5=120$
 
F

flames.of.desire

Bài 2:
[TEX]D = x^2 + 3x +y^2 + 3y + \frac{9}{x^2 + y^2 +1} [/TEX]
= [TEX]( x^2+y^2+1)+3x + 3y + \frac{9}{x^2 + y^2 +1}-1 [/TEX]
Áp dụng BĐT Cô si
= [TEX]( x^2+y^2+1)+3x + 3y + \frac{9}{x^2 + y^2 +1}-1\geq [/TEX]
= [TEX]( x^2+y^2+1)+3x + 3y + \frac{9}{x^2 + y^2 +1}-1 \geq 4\sqrt[4]{( x^2+y^2+1)+3x + 3y + \frac{9}{x^2 + y^2 +1}}-1 = 4\sqrt[4]{81xy}-1=11[/TEX] ( Do xy=1)
Vậy giá trị nhỏ nhất của D là: 11 khi x=y=1
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom