Chứng minh bất đẳng thức.

[cuti2601]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a, cho x,y,z >0
c/m
[tex]\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4} \geq x [/tex]

b, cho x,y,z >0
c/minh
[tex] \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2}[/tex]

ghi chi tiết nhaz bạn

 

[ngojsaoleloj8814974]

a, với x,y,z >0.áp dụng BĐT cô si ta được:
[TEX]\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq 2\sqrt[]{\frac{x^2(y+z)}{4(y+z)}}=x[/TEX]
Áp dụng câu a để làm câu b:
[TEX]\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}+ \frac{y+z}{4} +\frac{x+z}{4}+\frac{x+y}{4} \geq x+y+z[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}\frac{z^2}{x+y}\geq\frac{x+y+z}{2}[/TEX]
Ngoài ra ta có thể áp dụng BĐT bunhiacopski:
[TEX](\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y})[(x+y)+(y+z)+(z+x)]\geq(x+y+z)^2\Rightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geq \frac{x+y+z}{2}[/TEX]

 

[vnzoomvodoi]

Câu a) không còn gì đề bàn
Câu b) bạn có thể áp dụng luôn Svác-xơ cũng được do x,y,z>0

 

[son_9f_ltv]

b, cho x,y,z >0
c/minh
[tex] A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2}[/tex]

ghi chi tiết nhaz bạn

[TEX]A\ge \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)} =>dpcm[/TEX]