Toán 8 Chứng minh bất đẳng thức

[nguyenthiphuongmai2208]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ba số [imath]a, b, c[/imath] thỏa mãn [imath]a \geq \dfrac{4}{3}, b \geq \dfrac{4}{3}, c \geq \dfrac{4}{3}[/imath] và [imath]a+b+c=6[/imath].
Chứng minh rằng: [imath]\dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1} \geq \dfrac{6}{5}[/imath].
cái này thì sd pp UCT ntn ạ?

 

[2712-0-3]

View attachment 205133
cái này thì sd pp UCT ntn ạ?

nguyenthiphuongmai2208HH, bài này khả năng cao phương trình cuối cùng sẽ ra được là [imath](3a-4)(a-2)^2 \geq 0[/imath] (tại giả thiết đề cho và điểm rơi)
À mà thôi, coi như mình chưa biết nhé, làm theo UCT
Ta dễ thấy điểm rơi [imath]a=b=c2 \Rightarrow \dfrac{a}{a^2+1} = \dfrac{2}{5}[/imath]
Vậy nên ta dự đoán một bất đẳng thức sau: [imath]\dfrac{a}{a^2+1} \geq m(a-2) +\dfrac{2}{5}[/imath]
Giờ nhân chéo nhé:
[imath]\dfrac{a}{a^2+1} - \dfrac{2}{5} \geq m(a-2)[/imath]
[imath]\dfrac{5a-2a^2-2}{5a^2+5} \geq m(a-2)[/imath]
[imath]\dfrac{(a-2)(1-2a)}{5a^2+5} \geq m(a-2)[/imath]
[imath](a-2) \left ( \dfrac{1-2a}{5a^2+5} - m \right ) \geq 0[/imath]
Giờ ta không đánh giá được [imath]a[/imath] với 2, nên ta tìm cách tạo nhân tử [imath]a-2[/imath] ở ngoặc để đưa về bình phương
Khi đó đặt [imath]f(a) =\dfrac{1-2a}{5a^2+5} -m[/imath]
Thì [imath]f(2) =0 \Rightarrow m =\dfrac{-3}{25}[/imath]
Thay vào bạn chuyển vế quy đồng lên sẽ ra được cái bất đẳng thức tương đương cái ban đầu là [imath](3a-4)(a-2)^2 \geq 0[/imath] (như mình dư đoán)
Đó khi này , bạn đã chứng minh được : [imath]\dfrac{a}{a^2+1} \geq \dfrac{-3}{25}(a-2) +\dfrac{2}{5}[/imath]
Tương tự b,c bạn cộng vào sẽ có đpcm
Dấu = vẫn là a=b=c=2

Ngoài ra bạn tham khảo thêm tại box này nhé

Chia sẻ - TRỌN BỘ kiến thức học tốt các môn dành cho bạn. Hoàn toàn miễn phí!

Xin chào tất cả các bạn thành viên diễn đàn HOCMAI - Cộng đồng Học sinh Việt Nam Chào mừng các bạn đến với THIÊN ĐƯỜNG KIẾN THỨC trên diễn đàn HOCMAI. Tại đây, diễn đàn sẽ tổng hợp tất cả các nội dung kiến thức từ cơ bản đến nâng cao, từ lý thuyết đến thực tiễn, đề thi,... của các môn Toán, Ngữ...

diendan.hocmai.vn

 

[7 1 2 5]

Ta sẽ tìm [imath]m,n[/imath] sao cho [imath]\dfrac{x}{x^2+1} \geq mx+n[/imath] đạt điểm rơi tại [imath]x=2[/imath]
Cho [imath]x=2[/imath] ta được [imath]2m+n=\dfrac{2}{5} \Rightarrow n=\dfrac{2}{5}-2m[/imath]
Thay lại vào bất đẳng thức trên ta được: [imath]\dfrac{x}{x^2+1} \geq mx-2m+\dfrac{2}{5}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x-2)(\dfrac{1-2x}{5(x^2+1)}-m) \geq 0[/imath]
Khi đó ta cần tìm [imath]m[/imath] sao cho [imath]\dfrac{1-2x}{5(x^2+1)}-m=0[/imath] có nghiệm [imath]x=2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow m=-\dfrac{3}{25}[/imath]
Vậy ta có bất đẳng thức [imath]\dfrac{x}{x^2+1} \geq -\dfrac{3}{25}x+\dfrac{16}{25} \Leftrightarrow \dfrac{(x-2)^2(3x-4)}{25(x^2+1)} \geq 0[/imath](đúng với [imath]x \geq \dfrac{4}{3}[/imath]
Áp dụng BĐT đó cho 3 biến [imath]a,b,c[/imath] rồi cộng vế theo vế ta có [imath]VT \geq \dfrac{-3}{25}(a+b+c)+3.\dfrac{16}{25}=\dfrac{6}{5}[/imath]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
https://diendan.hocmai.vn/threads/t...c-mon-danh-cho-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/