Toán 10 Chứng minh bất đẳng thức

[Yorn SWAT]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn : $ab = 1 + c(a+b) $
CMR :
[tex]\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}+\frac{c^{2}}{c^{2}+1}\leq \frac{5}{4}[/tex]

Giúp mình với @Mộc Nhãn @KaitoKidaz

 

[Kaito Kidㅤ]

Mấy dạng này rút bất kì 1 cái theo 2 cái kia thôi
[tex]ab = 1 + c(a+b)\\\Leftrightarrow c=\frac{ab-1}{a+b}[/tex] thế vào VT
[tex]\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}+\frac{c^{2}}{c^{2}+1}\\=\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}+\frac{(\frac{ab-1}{a+b})^2}{(\frac{ab-1}{a+b})^2+1}\\=\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}+\frac{\frac{a^2b^2-2ab+1}{(a+b)^2}}{\frac{a^2b^2-2ab+1+a^2+2ab+b^2}{(a+b)^2}}\\=\frac{ab^2+a}{(a^2+1)(b^2+1)}+\frac{a^2b+b}{(a^2+1)(b^2+1)}+\frac{a^2b^2-2ab+1}{(a^2+1)(b^2+1)}[/tex]
Cần CM
[tex]\frac{ab^2+a+a^2b+b+a^2b^2-2ab+1}{a^2b^2+b^2+a^2+1}\leq \frac{5}{4}\\\Leftrightarrow 5(a^2b^2+b^2+a^2+1)\geq 4(ab^2+a+a^2b+b+a^2b^2-2ab+1)\\\Leftrightarrow a^2b^2+5a^2+5b^2+1+8ab-4(ab^2+a+a^2b+b)\geq 0\\\Leftrightarrow 4(a^2+2ab+b^2)-4(a+b)(ab+1)+(a^2b^2+2ab+1)+a^2-2ab+b^2\geq 0\\\Leftrightarrow (2a+2b-ab-1)^2+(a-b)^2\geq 0[/tex]
Điều này luôn đúng
BĐT được CM