Toán 9 Chứng minh bất đẳng thức

[Thảo hahi.love]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y,z là các số dương thoả mãn x+y+z=3
Chứng minh [tex]\frac{1}{2xy^{2}+1} + \frac{1}{2yz^{2}+1}+\frac{1}{2zx^{2}+1}\geq 1[/tex]

 

[Kaito Kidㅤ]

[tex]\frac{1}{2xy^{2}+1}=1-\frac{2xy^2}{2xy^{2}+1}\geq 1-\frac{2xy^2}{3\sqrt[3]{x^2y^4}}=1-\frac{2}{3}\sqrt[3]{xy^2}\geq 1-\frac{2}{3}.\frac{x+y+y}{3}\\\Leftrightarrow \frac{1}{2xy^{2}+1}\geq 1-\frac{2}{9}(x+2y)\\TT:\\\frac{1}{2yz^{2}+1}\geq 1-\frac{2}{9}(y+2z)\\\frac{1}{2zx^{2}+1}\geq 1-\frac{2}{9}(z+2x)[/tex]
Cộng vế với vế lại
[tex]\displaystyle \sum _{cyc}\frac{1}{2xy^2+1}\geq 3-\frac{2}{9}.3(x+y+z)=3-2=1[/tex]

 

[Thảo hahi.love]

[tex]\frac{1}{2xy^{2}+1}=1-\frac{2xy^2}{2xy^{2}+1}\geq 1-\frac{2xy^2}{3\sqrt[3]{x^2y^4}}=1-\frac{2}{3}\sqrt[3]{xy^2}\geq 1-\frac{2}{3}.\frac{x+y+y}{3}\\\Leftrightarrow \frac{1}{2xy^{2}+1}\geq 1-\frac{2}{9}(x+2y)\\TT:\\\frac{1}{2yz^{2}+1}\geq 1-\frac{2}{9}(y+2z)\\\frac{1}{2zx^{2}+1}\geq 1-\frac{2}{9}(z+2x)[/tex]
Cộng vế với vế lại
[tex]\displaystyle \sum _{cyc}\frac{1}{2xy^2+1}\geq 3-\frac{2}{9}.3(x+y+z)=3-2=1[/tex]

Dòng đầu em chưa hiểu lắm, chỗ đấy dùng cô si 3 số hay gì ạ?
#Kid: Cachy 3 số đấy em, em băn khoăn chỗ nào nữa không?