Toán 8 Chứng minh bất đẳng thức

[khanhly2006@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c >0 chứng minh (a^2+b^2+c^2)(2+abc) >=9abc

 

[azura.]

Có a,b,c > 0 , AD BĐT Cauchy có : [tex]2+abc\geq 2\sqrt{2abc}\geq 2\sqrt{abc}[/tex]. Mà [tex]a+b+c\geq 2\sqrt{abc} \Rightarrow[/tex] [tex]2+abc\geq a+b+c \Rightarrow (a^2+b^2+c^2)(2+abc)\geq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)[/tex]
AD BĐT Cauchy có : [tex](a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}\doteq 9abc[/tex]
[tex]\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)(2+abc)\geq 9abc[/tex]

 

[TranPhuong27]

Áp dụng BĐT AM-GM:

[tex](a^2+b^2+c^2)(2+abc) \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}(2+abc)[/tex]

Đặt [tex]\sqrt[3]{abc}=x>0[/tex]

Ta cần chứng minh [tex]3x^2(2+x^3) \geq 9x^3[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x^5-3x^3+2x^2 \geq 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x^2(x-1)^2(x+1) \geq 0[/tex] ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

 

[Lê.T.Hà]

1 cách khác:
[tex](a^2+b^2+c^2)(1+1+abc) \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}=9abc[/tex]