Toán 9 Chứng minh bất đẳng thức

[Son Goten]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn [tex]\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}=6[/tex]
Chứng minh rằng [tex]\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\leq \frac{3}{2}[/tex]
Mong mọi ng giúp ak. Cảm ơn !

 

[Darkness Evolution]

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :
[tex]\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\geq \frac{16}{3x+3y+2z}[/tex]. Tương tự,
[tex]\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\geq \frac{16}{2x+3y+3z}[/tex]
[tex]\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+z}\geq \frac{16}{3x+2y+3z}[/tex]
[tex]\Rightarrow 4(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z})\geq 16 (\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{2x+3y+3z}+\frac{1}{3x+2y+3z})[/tex]
[tex]\Rightarrow 4 \cdot 6 \geq 16(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{2x+3y+3z}+\frac{1}{3x+2y+3z})[/tex]
[tex]\Rightarrow (\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{2x+3y+3z}+\frac{1}{3x+2y+3z}) \leq \frac{4\cdot 6}{16} = \frac{3}{2}[/tex](đpcm)