Toán 8 Chứng minh bất đẳng thức

[_haphuong36_]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:
Cho a, b, c>0, [tex]a+b+c\leq 1[/tex]. CMR: [tex]\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\geq 9[/tex].
Bài 2:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: [tex]\frac{a}{b+c}-a+\frac{b}{a+c}-b+\frac{c}{a+b}-c\geq 3[/tex].
Bài 3:
Cho a, b, c, d, e là những số dương. CMR:
a) [tex]1<\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}<2[/tex]
b) [tex]2<\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b}<3[/tex]
Bài 4:
Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác
a)CMR: [tex]a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2)<0[/tex] (a<b<c)
b) Biết chu vi tam giác bằng 2. So sánh a, b, c với 1 và CM [tex]a^2+b^2+c^2+2abc<2[/tex]
Giúp mình với, mình cần gấp!

 

[Darkness Evolution]

Bài 3:
a) [tex]\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}> \frac{a}{a+b+c+d } +\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}= \frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1[/tex]
[tex]\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{a}{a+c} +\frac{b}{b+d}+\frac{c}{a+c}+\frac{d}{b+d}= \frac{a+c}{a+c} +\frac{b+d}{b+d}=1+1=2[/tex]
b)[tex]\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b}= \frac{a+bc}{a+b+c}+\frac{b+c+b}{b+c+d}+\frac{c+d+a}{c+d+a}+\frac{d+a+b}{d+a+b}-(\frac{c}{a+b+c}+\frac{d}{b+c+d}+\frac{a}{c+d+a}+\frac{b}{d+a+b})=4-(\frac{c}{a+b+c}+\frac{d}{b+c+d}+\frac{a}{c+d+a}+\frac{b}{d+a+b}) [/tex]
Đến đây làm y hệt như phần a, thay a=c; b=d
Bài 2:
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-(a+b+c)< \frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{c}-(a+b+c)=3-(a+b+c)[/tex]
Có vấn đề ...

 

[02-07-2019.]

Bài 1:
Cho a, b, c>0, [tex]a+b+c\leq 1[/tex]. CMR: [tex]\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\geq 9[/tex].
Bài 2:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: [tex]\frac{a}{b+c}-a+\frac{b}{a+c}-b+\frac{c}{a+b}-c\geq 3[/tex].
Bài 3:
Cho a, b, c, d, e là những số dương. CMR:
a) [tex]1<\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}<2[/tex]
b) [tex]2<\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b}<3[/tex]
Bài 4:
Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác
a)CMR: [tex]a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2)<0[/tex] (a<b<c)
b) Biết chu vi tam giác bằng 2. So sánh a, b, c với 1 và CM [tex]a^2+b^2+c^2+2abc<2[/tex]
Giúp mình với, mình cần gấp!

Bài 4:
a,
Ta có:
[tex]a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2) = a^3(b^2-a^2+a^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2)= (a^2-b^2)(c^3-a^3)+(c^2-a^2)(b^3-a^3)= (a-b)(c-a)(a+b)(c^2+ac+a^2)+ (c-a)(b-a)(c+a)(b^2+ab+a^2)[/tex] [tex]a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2) = a^3(b^2-a^2+a^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2)= (a^2-b^2)(c^3-a^3)+(c^2-a^2)(b^3-a^3)= (a-b)(c-a)(a+b)(c^2+ac+a^2)+ (c-a)(b-a)(c+a)(b^2+ab+a^2) = (c-a)(a-b)[(a+b)(c^2+ac+a^2)-(c+a)(b^2+ab+a^2)]=(c-a)(a-b)(ac^2+a^2c+a^3+bc^2+abc+ba^2-cb^2-abc-ca^2-ab^2-a^2b-a^3)=(c-a)(a-b)(ac^2-ab^2+bc^2-cb^2)=(c-a)(a-b)[a(c-b)(b+c)+bc(c-b)]=(c-a)(c-b)(a-b)(ab+ac+bc)<0[/tex]
( vì a<b )
b,
Có a+b+c = 2
Theo bất đẳng thức tam giác : a < b + c => 2a < a+ b + c = 2 => a< 1
Tương tự thì ta được: b < 1; c< 1.
Xét: [tex](1-a)(1-b)(1-c)>0 \Leftrightarrow 1-a-b-c+ab+bc+ca-abc>0\Leftrightarrow 1>a+b+c-ab-bc-ca+abc\Leftrightarrow 2>4-2(ab+cb+ca)+2abc\Leftrightarrow 2>4-(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)+a^2+b^2+c^2+2abc\Leftrightarrow 2>4-(a+b+c)^2+a^2+b^2+c^2+2abc\Leftrightarrow 2>a^2+b^2+c^2+2abc[/tex]

 

[Lê Tự Đông]

Bài 1:
Cho a, b, c>0, [tex]a+b+c\leq 1[/tex]. CMR: [tex]\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\geq 9[/tex].
Bài 2:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: [tex]\frac{a}{b+c}-a+\frac{b}{a+c}-b+\frac{c}{a+b}-c\geq 3[/tex].
Bài 3:
Cho a, b, c, d, e là những số dương. CMR:
a) [tex]1<\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}<2[/tex]
b) [tex]2<\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b}<3[/tex]
Bài 4:
Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác
a)CMR: [tex]a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2)<0[/tex] (a<b<c)
b) Biết chu vi tam giác bằng 2. So sánh a, b, c với 1 và CM [tex]a^2+b^2+c^2+2abc<2[/tex]
Giúp mình với, mình cần gấp!

$\frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{c^{2}+ab} >\frac{1}{a^{2}+2bc}+\frac{1}{b^{2}+2ac}+\frac{1}{c^{2}+2ab} \geq \frac{(1+1+1)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca} = \frac{9}{(a+b+c)^{2}} \geq \frac{9}{1^{2}} = 9$