BĐT [tex]<=>\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{3}{abc}\geq 2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})[/tex]
Đổi [tex](\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c})\rightarrow (x;y;z)[/tex] [tex](xyz=1)[/tex]
BĐT trở thành [tex]x^2+y^2+z^2+3xyz\geq 2(xy+yz+zx)[/tex]
theo nguyên lý diriclet thì trong 3 số x-1 y-1 z-1 có ít nhất 2 số cùng dấu. Giả sử 2 số đó là x-1 y-1 thì [tex](x-1)(y-1)\geq 0<=>xy\geq x+y-1[/tex]
[tex]<=>xyz\geq xz+yz-z[/tex]
khi đó [tex]x^2+y^2+z^2+3xyz\geq x^2+y^2+z^2+3(xz+yz-z)[/tex]
Xét hiệu [tex]x^2+y^2+z^2+3(xz+yz-z) -2(xy+yz+zx)=(x-y)^2+z(x+y+z-3)[/tex]
Lại có [tex]x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3=>x+y+z-3\geq 0[/tex]
[tex]=>x^2+y^2+z^2+3(xz+yz-z) -2(xy+yz+zx)=(x-y)^2+z(x+y+z-3)\geq 0[/tex]
[tex]=>x^2+y^2+z^2+3xyz\geq 2(xy+yz+zx)[/tex] (ĐPCM)
Dấu "=" [tex]<=>a=b=c=1[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
