Toán 9 chứng minh bất đẳng thức

[Hanhh Mingg]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z >0. CM:
[tex]\sqrt{(x+y)(y+x)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z})\geq 4(xy+yz+xz)[/tex]
@shorlochomevn@gmail.com

 

[7 1 2 5]

Ta có:[tex]VT=\sqrt{(x+y)(y+x)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z})=\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)(x+y)}+\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)(y+z)}+\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)(z+x)}[/tex]
Đánh giá 1 hạng tử:[tex]\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)(x+y)}=\sqrt{(y^2+xy+yz+zx)(x^2+xy+yz+zx)}[/tex]
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:[tex](y^2+xy+yz+zx)(x^2+xy+yz+zx)=[y^2+(\sqrt{xy})^2+(\sqrt{yz})^2+(\sqrt{xz})^2][x^2+(\sqrt{xy})^2+(\sqrt{yz})^2+(\sqrt{xz})^2]\geq [x.y+\sqrt{xy}.\sqrt{xy}+\sqrt{yz}.\sqrt{yz}+\sqrt{zx}.\sqrt{zx}]^2=(2xy+yz+zx)^2\Rightarrow \sqrt{(y^2+xy+yz+zx)(x^2+xy+yz+zx)}\geq 2xy+yz+zx[/tex]
Chứng minh tương tự ta có đpcm.