Toán 9 chứng minh bất đẳng thức

[0964230821]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 3: CMR với mọi m, n, p, q, ta có: m^2 + n^2 + p^2 + q^2 + 1 >= m(n + p + q + 1)

bài 4: CMR với mọi a, b, c ta có: a^4 +b^4 +c^4 >= abc(a + b +c)

 

[Lemon candy]

bài 3: CMR với mọi m, n, p, q, ta có: m^2 + n^2 + p^2 + q^2 + 1 >= m(n + p + q + 1)

bài 4: CMR với mọi a, b, c ta có: a^4 +b^4 +c^4 >= abc(a + b +c)

Làm 1 phần thôi nhé
Có [tex]m^2 + n^2 + p^2 + q^2 + 1 \geq m(n + p + q + 1) (*1)[/tex]
<=> [tex](\frac{m^2}{4}-mn+n^2)+(\frac{m^2}{4}-mp+p^2)+(\frac{m^2}{4}-mq+q^2)+(\frac{m^2}{4}-m+1)\geq 0[/tex]
<=>[tex](\frac{m}{2}-n)^2+(\frac{m}{2}-p)^2+(\frac{m}{2}-q)^2+(\frac{m}{2}-1)^2\geq 0(*2)[/tex]
Vì (*2) luôn đúng => (*1) được chứng minh
Dấu = xảy ra khi mấy cái bình phương ở trên lần lượt = 0
=> m=2 và n=p=q=1

 

[Hanhh Mingg]

Áp dụng bđt Cauchy: [tex]\left\{\begin{matrix} a^4+b^4\geq 2a^2b^2 & \\ b^4+c^4\geq 2b^2c^2& \\ a^4+c^4\geq 2a^2c^2& \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(a^4+b^4+c^4)\geq 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2[/tex] (1)
Ta có: [tex]abc(a+b+c)=a^2bc+ab^c+abc^2[/tex]
Ta có: [tex]a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq ab^2c+abc^2+a^2bc[/tex]
Sau đó bạn nhân cả 2 vế với 2, chuyển vế đưa về một bất đẳng thức luôn đúng với mọi a,b,c là : [tex](ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2\geq 0[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
[tex]\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\geq ab^2c+abc^2+a^2bc[/tex]=[tex]abc(a+b+c)[/tex] (2)
Từ (1) và (2) ta có đpcm
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c