Toán 9 chứng minh bất đẳng thức

[Hanhh Mingg]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c =1
CMR: [tex]\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\geq 1 + \sqrt{ab}+ \sqrt{bc}+\sqrt{ca}[/tex]

 

[mbappe2k5]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c =1
CMR: [tex]\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\geq 1 + \sqrt{ab}+ \sqrt{bc}+\sqrt{ca}[/tex]

Áp dụng giả thiết và BĐT Cauchy-Schwarz (tên chính thống của BĐT Bunyakovsky) ta có:
[tex]\sqrt{a+bc}=\sqrt{a(a+b+c)+bc}=\sqrt{a^2+ab+ac+bc}=\sqrt{(a+b)(a+c)}=\sqrt{[(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2][(\sqrt{a})^2+(\sqrt{c})^2]}[/tex]
[tex]\geq \sqrt{(\sqrt{a}.\sqrt{a}+\sqrt{b}.\sqrt{c})^2}=\sqrt{(a+\sqrt{bc})^2}=a+\sqrt{bc}[/tex].
Chứng minh tương tự xong cộng theo vế các BĐT đã tìm được, rồi lại sử dụng giả thiết [TEX]a+b+c=1[/TEX] để suy ra đpcm.

Cần chú ý hằng đẳng thức: [TEX]a^2+ab+bc+ca=(a+b)(a+c)[/TEX], tuy rằng nó tưởng rất đơn giản để phân tích thành nhân tử, nhưng nó lại có nhiều ứng dụng trong biến đổi đại số, chẳng hạn như bài này hoặc có thể cho [TEX]a^2+1[/TEX] với giả thiết [TEX]ab+bc+ca=1[/TEX].