Toán 9 chứng minh bất đẳng thức

[Hanhh Mingg]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b >0 thỏa mãn a+b=1. CM : [tex]\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\geq \frac{1}{3}[/tex]
Em đã làm được theo cách biến đổi tương đương rồi ạ, mọi người con cách nào khác thì chia sẻ cho em với ạ

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Bạn áp dụng bất đẳng thức Schwarz đi
[tex]\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}\geq \frac{(x+y)^2}{m+n}[/tex] (m,n dương )

 

[7 1 2 5]

Bạn biết bất đẳng thức Schwartz không nhỉ.
1.Ta có:[tex]\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\geq \frac{(a+b)^2}{a+b+2}=\frac{1}{3}[/tex]
2.Ta có:[tex]\frac{a^2}{a+1}+\frac{a+1}{9}\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{a+1}.\frac{a+1}{9}}=\frac{2}{3}a\Rightarrow \frac{a^2}{a+1}\geq \frac{5a-1}{9}[/tex]
Tương tự thì [tex]\frac{b^2}{b+1}\geq \frac{5a-1}{9}\Rightarrow \frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\geq \frac{5(a+b)-2}{9}=\frac{1}{3}[/tex]

 

[ankhongu]

Cho a,b >0 thỏa mãn a+b=1. CM : [tex]\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\geq \frac{1}{3}[/tex]
Em đã làm được theo cách biến đổi tương đương rồi ạ, mọi người con cách nào khác thì chia sẻ cho em với ạ

Mình bổ sung cho bạn một cách làm thứ 4 nha, nhưng hơi dài tí nên bạn tham khảo thôi, khi thi hay kiểm tra thì cứ cách nào ngắn nhất mà làm
Hướng làm : Cosi trái dấu
Ta có :
[tex]\frac{a^2}{a + 1} = a - \frac{a}{ a + 1}[/tex]
Tương tự với b, ta sẽ có :
ĐPCM <-> [tex]VT = a + b - \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1} \geq \frac{1}{3}[/tex]
<-> [tex]\frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1} \leq \frac{2}{3}[/tex]
Thật vậy
[tex]VT = \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1} = \frac{2a}{2a + 1 + 1} + \frac{2b}{2b + 1 + 1} \leq \frac{2a}{9}(\frac{1}{2a} + 1 + 1) + \frac{2b}{9}(\frac{1}{2b} + 1 + 1) = \frac{2}{9} + \frac{4a + 4b}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}[/tex]
--> ĐPCM