Toán 8 Chứng minh bất đẳng thức

[leduyentt@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng [tex]\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\geq(a+b+c)[/tex].

 

[Minh Đỗ]

dùng bđt AM GM nha bạn
sau đó biến đổi tương đương là ra

 

[Con Cá]

Ta có : [tex]a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow (a+b)^{2}\geq 4ab[/tex]
Tương tự : [tex](b+c)^{2}\geq 4bc[/tex]
[tex](c+a)^{2}\geq 4ac[/tex]
Lại có: [tex]a+b-c+c\geq 2\sqrt{(a+b-c)c}\Rightarrow (a+b)^{2}\geq 4(a+b-c)c\Rightarrow \frac{(a+b)^{2}}{4(a+b-c)}\geq c[/tex]
Tương tự: [tex]\frac{(b+c)^{2}}{4(b+c-a)}\geq a[/tex]
[tex]\frac{(c+a)^{2}}{4(a+c-b)}\geq b[/tex]
[tex]\Rightarrow a+b+c\leq \frac{(a+b)^{2}}{4(a+b-c)}+\frac{(b+c)^{2}}{4(b+c-a)}+\frac{(c+a)^{2}}{4(c+a-b)}\leq \frac{4ab}{4(a+b-c)}+\frac{4bc}{4(b+c-a)}+\frac{4ac}{4(c+a-b)}\leq \frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ac}{c+a-b}[/tex] (Đpcm)
Bài này sai rùi nha. I'm sorry. Đang sửa chữa

 

[shorlochomevn@gmail.com]

Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng [tex]\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\geq(a+b+c)[/tex].

đặt [tex]a+b-c=x\\\\ b+c-a=y\\\\ c+a-b=z\\\\ => x+z=2a; x+y=2b\\\\ => 4ab=(x+z).(x+y)\\\\ => ab=\frac{(x+z).(x+y)}{4} => \frac{ab}{a+b-c}=\frac{(x+z).(x+y)}{4x}\\\\ =\frac{x^2+xz+yz+xy}{4x}=\frac{x}{4}+\frac{z}{4}+\frac{yz}{4x}+\frac{y}{4}\\\\ =(\frac{x}{4}+\frac{z}{4}+\frac{y}{4})+\frac{yz}{4x}[/tex]
CMTT => [tex]\frac{bc}{b+c-a}=(\frac{x}{4}+\frac{z}{4}+\frac{y}{4})+\frac{xz}{4y}\\\\ \frac{ca}{c+a-b}=(\frac{x}{4}+\frac{z}{4}+\frac{y}{4})+\frac{xy}{4z}\\\\ => \frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}=3.(\frac{x}{4}+\frac{z}{4}+\frac{y}{4})+\frac{1}{4}.(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z})[/tex]
giờ cần CM: [tex]\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\geq x+y+z\\\\[/tex]
áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương, có:
[tex]\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\geq 2\sqrt{\frac{yz}{x}.\frac{xz}{y}}=2z\\\\ \frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\geq 2\sqrt{\frac{xz}{y}.\frac{xy}{z}}=2x\\\\ \frac{yz}{x}+\frac{xy}{z}\geq 2\sqrt{\frac{yz}{x}.\frac{xy}{z}}=2y[/tex]
cộng từng vế BĐT ta có đpcm
dấu "=" xảy ra <=> x=y=z <=> a=b=c

 

[Minh Đỗ]

mik dùng bđt (a+b-c)*(b+c-a)*(c+a-b)<=a*b*c
sau đó dùng bđt AM-GM là ra