Toán 10 Chứng minh bất đẳng thức

[Huỳnh Đỗ Đạt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1 )
với a,b,c là ba số thực dương .
2 )
giúp mình

 

[hangng20032007]

1. Dễ c/m: Với 3 số x,y,z dương, ta luôn có: [tex]x^2+y^2+z^2\geqslant xy+xz+xz[/tex]
Áp dụng để c/m vào bài này.
Ta có: [tex]a^4+b^4+c^4\geqslant a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\geqslant abbc+bcca+abca=abc(a+b+c)\Leftrightarrow \frac{a^4+b^4+c^4}{abc}\geqslant a+b+c\Leftrightarrow \frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ac}+\frac{c^3}{ab}\geqslant a+b+c[/tex]

 

[hangng20032007]

2. Ta có: [tex]a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}=a+\frac{8}{(2a-2b)(b+1)(b+1)}[/tex]
Áp dụng BĐT Cô-si cho bộ 3 số 2a-2b,b+1,b+1 không âm, ta được: [tex](2a-2b)(b+1)(b+1)\leqslant (\frac{2a-2b+b+1+b+1}{3})^3=\frac{(2a+2)^3}{27}=\frac{8(a+1)^3}{27}[/tex]
=> [tex]a+\frac{8}{(2a-2b)(b+1)(b+1)}\geqslant a+\frac{27}{(a+1)^3}[/tex]
Ta cần c/m: [tex]a+\frac{27}{(a+1)^3}\geqslant 3[/tex]
Thật vậy: [tex]a+\frac{27}{(a+1)^3}\geqslant 3\Leftrightarrow a^4-6a^2-8a+24\geqslant 0\Leftrightarrow (a^2-4)^2+2(a-2)^2\geqslant 0[/tex](luôn đúng)
=>đccm