Toán 9 Chứng minh bất đẳng thức

[Thái Vĩnh Đạt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Giả sử a,b,c,d[tex]\epsilon [0;4][/tex] thỏa mãn a+b+c=6. Khi đó ta có [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 20[/tex]. Khi nào dấu bằng xảy ra.
2)CMR với 3 số [tex]a,b,c\geq 0[/tex] và a+b+c=1, ta luôn có [tex]b+c\geq 16abc[/tex]
3)Với [tex]a,b,c \epsilon [1;2][/tex], hãy c/m bất đẳng thức sau[tex](a+b+c)\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right )\leq 10[/tex]
4)Cho [tex]a,b,c\geq 1.[/tex] CMR [tex]\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{1+abc}[/tex]

 

[quynhphamdq]

1)Giả sử a,b,c,d[tex]\epsilon [0;4][/tex] thỏa mãn a+b+c=6. Khi đó ta có [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 20[/tex]. Khi nào dấu bằng xảy ra.
2)CMR với 3 số [tex]a,b,c\geq 0[/tex] và a+b+c=1, ta luôn có [tex]b+c\geq 16abc[/tex]
3)Với [tex]a,b,c \epsilon [1;2][/tex], hãy c/m bất đẳng thức sau[tex](a+b+c)\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right )\leq 10[/tex]
4)Cho [tex]a,b,c\geq 1.[/tex] CMR [tex]\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{1+abc}[/tex]

2.
[TEX]1= (a+b+c)^2\geq 4a(b+c)[/TEX] (cauchy)
[TEX] \Leftrightarrow b+c \geq 4a(b+c)^2\geq 4a.4bc =16abc ([/TEX]Cauchy)
Dấu "=" xảy ra khi[TEX] a=b=c =\frac{1}{3}[/TEX]

 

[phương linh conandoyle]

.
2)CMR với 3 số [tex]a,b,c\geq 0[/tex] và a+b+c=1, ta luôn có [tex]b+c\geq 16abc[/tex]

Ta có: a+b+c=1 => a=1-b-c thay vào BT:
[tex]b+c\geq 16abc <=> b+c\geq 16(1-b-c)bc[/tex]
<=> [tex]b+c\geq 16bc-16b^{2}c-16bc^{2}[/tex]
<=> [tex]16bc- 16b^{2}c -16bc^{2}-b-c\leq 0[/tex]
<=> [tex]-(16b^{2}c-8bc+c)-(16bc^{2}-8bc+b)\leq 0[/tex]
<=> [tex]-c(4b-1)^{2}-b(4b-1)^{2}\leq 0[/tex] (luôn đúng)
=> đpcm
Dấu '' = '' xảy ra <=> [tex]b=c=\frac{1}{4}[/tex] và [tex]a=\frac{1}{2}[/tex]

 

[Thái Vĩnh Đạt]

2.
[TEX]1= (a+b+c)^2\geq 4a(b+c)[/TEX] (cauchy)
[TEX] \Leftrightarrow b+c \geq 4a(b+c)^2\geq 4a.4bc =16abc ([/TEX]Cauchy)
Dấu "=" xảy ra khi[TEX] a=b=c =\frac{1}{3}[/TEX]

Bạn giải trường hợp dấu = sai rồi. Dấu = xảy ra<=>[tex]\left\{\begin{matrix} a=b+c\\ b=c\\ a+b+c=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{2}\\ b=c=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.[/tex]