Toán 8 Chứng minh bất đẳng thức

[Phùng Đức Trung]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a+b=2 cmr a^4+b^4>=a^3+b^3
Cho hai số dương x,y và x^3+y^3=x-y cmr x^2+y^2<1
Cmr (a+b)(a^4+b^4)>=(a^2+b^2)(a^3+b^3)

 

[phương linh conandoyle]

Cmr (a+b)(a^4+b^4)>=(a^2+b^2)(a^3+b^3)[/QUOTE]
[tex]<=> a^{5}+a^{4}b+ab^{4}+b^{5}\geq a^{5}+a^{3}b^{2}+a^{2}b^{3}+b^{5}[/tex]
[tex]<=> a^{4}b+ab^{4}-a^{3}b^{2}-a^{2}b^{3}\geq 0 <=> a^{2}b(a^{2}-b^{2})-ab^{2}(a^{2}-b^{2})\geq 0 <=> (a^{2}-b^{2})(a^{2}b-ab^{2})\geq 0 <=> (a-b)(a+b)ab(a-b)\geq 0 <=> (a-b)^{2}(a+b)ab\geq 0 <=> (a-b)^2(a+b)ab=0 (luôn đúng) => đpcm Dấu "=" xảy ra <=>a=b hoặc a=0 hoặc b=0[/tex]

 

[candyiukeo2606]

Cho a+b=2 cmr a^4+b^4>=a^3+b^3

Ta chứng minh:
[tex]a^4 \geq a^3 + a - 1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^4 - a^3 - (a - 1) \geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^3(a - 1) - (a - 1) \geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a - 1)(a^3 - 1) \geq 0 \Leftrightarrow (a - 1)^2(a^2 + a + 1) \geq 0[/tex] (đúng với mọi a)
[tex]\Rightarrow a^4 \geq a^3 + a - 1[/tex] (1)
Dấu "=" xảy ra khi a = 1
Tương tự => [tex]\Rightarrow b^4 \geq b^3 + b - 1[/tex] (2)
Dấu "=" xảy ra khi b = 1
Từ (1), (2) => [tex]a^4 + b^4 \geq a^3 + b^3 + a + b - 2 = a^3 + b^3[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1

 

[Phùng Đức Trung]

Cmr (a+b)(a^4+b^4)>=(a^2+b^2)(a^3+b^3)

[tex]<=> a^{5}+a^{4}b+ab^{4}+b^{5}\geq a^{5}+a^{3}b^{2}+a^{2}b^{3}+b^{5}[/tex]
[tex]<=> a^{4}b+ab^{4}-a^{3}b^{2}-a^{2}b^{3}\geq 0 <=> a^{2}b(a^{2}-b^{2})-ab^{2}(a^{2}-b^{2})\geq 0 <=> (a^{2}-b^{2})(a^{2}b-ab^{2})\geq 0 <=> (a-b)(a+b)ab(a-b)\geq 0 <=> (a-b)^{2}(a+b)ab\geq 0 <=> (a-b)^2(a+b)ab=0 (luôn đúng) => đpcm Dấu "=" xảy ra <=>a=b hoặc a=0 hoặc b=0[/tex][/QUOTE]

Cmr (a+b)(a^4+b^4)>=(a^2+b^2)(a^3+b^3)

[tex]<=> a^{5}+a^{4}b+ab^{4}+b^{5}\geq a^{5}+a^{3}b^{2}+a^{2}b^{3}+b^{5}[/tex]
[tex]<=> a^{4}b+ab^{4}-a^{3}b^{2}-a^{2}b^{3}\geq 0 <=> a^{2}b(a^{2}-b^{2})-ab^{2}(a^{2}-b^{2})\geq 0 <=> (a^{2}-b^{2})(a^{2}b-ab^{2})\geq 0 <=> (a-b)(a+b)ab(a-b)\geq 0 <=> (a-b)^{2}(a+b)ab\geq 0 <=> (a-b)^2(a+b)ab=0 (luôn đúng) => đpcm Dấu "=" xảy ra <=>a=b hoặc a=0 hoặc b=0[/tex][/QUOTE]
thank ''you''

 

[Phùng Đức Trung]

Ta chứng minh:
[tex]a^4 \geq a^3 + a - 1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^4 - a^3 - (a - 1) \geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^3(a - 1) - (a - 1) \geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a - 1)(a^3 - 1) \geq 0 \Leftrightarrow (a - 1)^2(a^2 + a + 1) \geq 0[/tex] (đúng với mọi a)
[tex]\Rightarrow a^4 \geq a^3 + a - 1[/tex] (1)
Dấu "=" xảy ra khi a = 1
Tương tự => [tex]\Rightarrow b^4 \geq b^3 + b - 1[/tex] (2)
Dấu "=" xảy ra khi b = 1
Từ (1), (2) => [tex]a^4 + b^4 \geq a^3 + b^3 + a + b - 2 = a^3 + b^3[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1

thank