Toán 9 Chứng minh bất đẳng thức

[Vu quy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x;y dương thỏa mãn x+y=1. Chứng minh: 8(x^4+y^4)>=1

 

[Nguyễn Lê Thành Vinh]

ta có: $$x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}$$
<=> $$x^2+y^2\geq xy+ \frac{1}{2}.(x^2+y^2)$$
<=> $$\frac{1}{2}.(x^2+y^2)-xy\geq 0$$ (Lấy vế trái trừ vế phải)
<=> $$\frac{1}{2}(x-y)^2\geq 0$$ ( lờ uôn luôn đúng vs mọi x;y )
vậy $$x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2} =\frac{1}{2}$$
tương tự biến đổi tương đương tiếp ta được:
$$x^4+y^4\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2}=\frac{(\frac{1}{2})^2}{2}=\frac{1}{8}$$
vậy x^4 + y^4 ≥ 1/8 => $$8(x^4+y^4)\geq 1$$
dấu = xảy ra <=> x=y=1/2
Ok! chúc bạn học tốt!

 

[Ann Lee]

Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số ta được:
$$x^{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}\geq 4\sqrt[4]{x^{4}.\frac{1}{16}.\frac{1}{16}.\frac{1}{16}}=\frac{1}{2}x\Rightarrow x^{4}\geq \frac{1}{2}x-\frac{3}{16}$$
Tương tự:...
Suy ra $$8(x^{4}+y^{^{4}}) \geq 8(\frac{1}{2}x-\frac{3}{16}+\frac{1}{2}y-\frac{3}{16})=1$$
Dấu "=" xảy ra $$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$$