Toán 9 Chứng minh bất đẳng thức

Nguyễn Lê Thành Vinh

Banned
Banned
23 Tháng chín 2014
808
1,531
171
20
Hải Phòng
THCS vĩnh an
ta có: x2+y2(x+y)22x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}
<=> x2+y2xy+12.(x2+y2)x^2+y^2\geq xy+ \frac{1}{2}.(x^2+y^2)
<=> 12.(x2+y2)xy0\frac{1}{2}.(x^2+y^2)-xy\geq 0 (Lấy vế trái trừ vế phải)
<=> 12(xy)20\frac{1}{2}(x-y)^2\geq 0 ( lờ uôn luôn đúng vs mọi x;y :D)
vậy x2+y2(x+y)22=12x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2} =\frac{1}{2}
tương tự biến đổi tương đương tiếp ta được:
x4+y4(x2+y2)22=(12)22=18x^4+y^4\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2}=\frac{(\frac{1}{2})^2}{2}=\frac{1}{8}
vậy x^4 + y^4 ≥ 1/8 => 8(x4+y4)18(x^4+y^4)\geq 1
dấu = xảy ra <=> x=y=1/2
Ok! chúc bạn học tốt! :)
 

Ann Lee

Cựu Mod Toán
Thành viên
14 Tháng tám 2017
1,782
2,981
459
Hưng Yên
Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số ta được:
x4+116+116+1164x4.116.116.1164=12xx412x316x^{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}\geq 4\sqrt[4]{x^{4}.\frac{1}{16}.\frac{1}{16}.\frac{1}{16}}=\frac{1}{2}x\Rightarrow x^{4}\geq \frac{1}{2}x-\frac{3}{16}
Tương tự:...
Suy ra 8(x4+y4)8(12x316+12y316)=18(x^{4}+y^{^{4}}) \geq 8(\frac{1}{2}x-\frac{3}{16}+\frac{1}{2}y-\frac{3}{16})=1
Dấu "=" xảy ra x=y=12\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}
 
Top Bottom