Toán 9 Chứng minh bất đẳng thức

[vinzoikelmy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho a,b >0 CM [tex]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}[/tex]
2) cho [tex]a>0, y>0 ; x+y \leq 1[/tex]
Chứng minh [tex]\frac{1}{x^2+xy} + \frac{1}{y^2+xy} \geq 4[/tex]
3) a) CM [tex]x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}[/tex]
b) CM [tex]x^4+y^4 \geq (x+y)^4[/tex]
4) Cho x>0, y>0 và x+y =1
CM [tex]8(x^4+y^4) +\frac{1}{xy} \geq 5[/tex]
5) Cho a,b,c thỏa mãn [tex]a^2+b^2+c^2=3[/tex]
CM [tex]ab+bc+ca+a+b+c\leq 6[/tex]

 

[Lucifer0810]

5. cm a^ 2 + b^ 2 + c^ 2 >= ( a+ b+ c ) ^ 2 >= ab + bc + ca
=> ab + bc + ca <= 3 , a + b + c <= căn (3 . ( a^ 2 + b^ 2 + c^ 2))= 3
=> đpcm

 

[hdiemht]

1) Cho a,b >0 CM [tex]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}[/tex]
2) cho [tex]a>0, y>0 ; x+y \leq 1[/tex]
Chứng minh [tex]\frac{1}{x^2+xy} + \frac{1}{y^2+xy} \geq 4[/tex]
3) a) CM [tex]x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}[/tex]
b) CM [tex]x^4+y^4 \geq (x+y)^4[/tex]
4) Cho x>0, y>0 và x+y =1
CM [tex]8(x^4+y^4) +\frac{1}{xy} \geq 5[/tex]
5) Cho a,b,c thỏa mãn [tex]a^2+b^2+c^2=3[/tex]
CM [tex]ab+bc+ca+a+b+c\leq 6[/tex]

1. [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{(1+1)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}[/tex]
Dấu ''='' xảy ra khi a=b
P/S: Bài này có thể dùng cách biến đổi tương đương nhé bạn!!
2.
[tex]\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\geq \frac{(1+1)^2}{x^2+2xy+y^2}= \frac{4}{(x+y)^2}\geq =4[/tex]
Dấu =...
3. Ta có: [tex](x-y)^2\geq 0\Rightarrow x^2+y^2\geq 2xy\Rightarrow x^2+y^2+x^2+y^2\geq (x+y)^2\Leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\Rightarrow x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}[/tex]
4. Áp dụng AM-GM ta có:
[tex]\frac{1}{xy}\geq 4;8(x^4+y^4)\geq 16x^2y^2[/tex]
Mà: [tex]16x^2y^2+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}\geq 3\Rightarrow 16x^2y^2\geq 3-\frac{1}{2xy}\geq 3-2=1[/tex]
Khi đó: [tex]8(x^2+y^2)+\frac{1}{xy}\geq 1+4=5[/tex]
Dấu ''='' xảy ra khi x=y=1/2
3b. Đề sai nhé: nếu thay x=y=1 thì sai
Đề đúng là: chứng minh [tex]x^4+y^4\geq \frac{(x+y)^4}{8}[/tex]
______________________________________
Giải:
Áp dụng Bunhia
[tex](1^2+1^2)(x^4+y^4)\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2}[/tex]
Mà: [tex]x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}[/tex]
Suy ra: [tex]x^4+y^4\geq \frac{(x+y)^4}{8}[/tex]