Cho a,b,c >0 và a+b+c=3 Chứng minh
View attachment 55801
Viết lại đề:
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng [tex]\sum \frac{a^{3}}{b(2c+a)}\geq 1[/tex]
_______________
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
[tex]\frac{a^{3}}{b(2c+a)}+\frac{2c+a}{9}+\frac{b}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}}{b(2c+a)}.\frac{2c+a}{9}.\frac{b}{3}}=a[/tex]
Tương tự:
[tex]\frac{b^{3}}{c(2a+b)}+\frac{2a+b}{9}+\frac{c}{3}\geq b[/tex]
[tex]\frac{c^{3}}{a(2b+c)}+\frac{2b+c}{9}+\frac{a}{3}\geq c [/tex]
Cộng vế với vế 3 BĐT trên được
$\frac{a^{3}}{b(2c+a)}+\frac{2c+a}{9}+\frac{b}{3}+\frac{b^{3}}{c(2a+b)}+\frac{2a+b}{9}+\frac{c}{3}+\frac{c^{3}}{a(2b+c)}+\frac{2b+c}{9}+\frac{a}{3}\geq a+b+c$
$\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{b(2c+a)}+\frac{b^{3}}{c(2a+b)}+\frac{c^{3}}{a(2b+c)}\geq \frac{a+b+c}{3} =1$
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
