View attachment 54346 GIÚP MÌNH GẤP VỚI CÁC BẠN ƠI MAI MÌNH PHẢI NỘP RỒI
Đề bài:
Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh [tex]\frac{x^{3}}{y^{2}}+\frac{y^{3}}{z^{2}}+\frac{z^{3}}{x^{2}}\geq \frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x}[/tex]
________________________
+) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
[tex]\frac{x^{3}}{y^{2}}+x\geq 2\sqrt{\frac{x^{3}}{y^{2}}.x}=\frac{2x^{2}}{y}[/tex]
Tương tự:
- [tex]\frac{y^{3}}{z^{2}}+y\geq \frac{2y^{2}}{z}[/tex]
- [tex]\frac{z^{3}}{x^{2}}+z\geq \frac{2z^{2}}{x}[/tex]
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được
$\frac{x^{3}}{y^{2}}+x+\frac{y^{3}}{z^{2}}+y+\frac{z^{3}}{x^{2}}+z\geq \frac{2x^{2}}{y}+\frac{2y^{2}}{z}+ \frac{2z^{2}}{x}$
$\Leftrightarrow \frac{x^{3}}{y^{2}}+\frac{y^{3}}{z^{2}}+\frac{z^{3}}{x^{2}}\geq \frac{2x^{2}}{y}+\frac{2y^{2}}{z}+ \frac{2z^{2}}{x}-(x+y+z)$ (1)
+) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
[tex]\frac{x^{2}}{y}+y\geq 2\sqrt{\frac{x^{2}}{y}.y}=2x\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y}\geq 2x-y[/tex]
Tương tự:
- $\frac{y^{2}}{z}\geq 2y-z$
- $\frac{z^{2}}{x}\geq 2z-x$
Cộng vế với vế 3 BĐT trên được [tex]\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x}\geq 2x-y+ 2y-z+2z-x=x+y+z[/tex] (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Dẳng thức xảy ra <=> x=y=z
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
GIÚP MÌNH GẤP VỚI CÁC BẠN ƠI MAI MÌNH PHẢI NỘP RỒI
