cho a,b,c>0 và a^2+b^2+c^2=3. cmr
[tex]\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 3[/tex]
Xét [tex](\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b})^{2}=\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}}{b^{2}}+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})=\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}}{b^{2}}+6[/tex] (*)
Mặt khác [tex]\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}.\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}}=2b^{2}[/tex]
Tương tự: [tex]\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}}{b^{2}}\geq 2c^{2};\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}}{b^{2}}\geq 2a^{2}[/tex]
Cộng vế với vế 3 BĐT trên được: [tex]2(\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}}{b^{2}})\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})=6\Rightarrow \frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}}{b^{2}}\geq 3[/tex] (**)
Từ (*) và (**) suy ra [tex]\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}}{b^{2}}+6\geq 9\Leftrightarrow (\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b})^{2}\geq 9[/tex]
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=1[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
