Toán 10 Chứng minh bất đẳng thức

[thaofam2001@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c>0 và a^2+b^2+c^2=3. cmr
[tex]a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)\geq 6[/tex]

 

[Ann Lee]

cho a,b,c>0 và a^2+b^2+c^2=3. cmr
[tex]a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)\geq 6[/tex]

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow 3[a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)]\geq 18=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
$\Leftrightarrow 3(a^{3}b+a^{3}c+b^{3}c+b^{3}a+c^{3}a+c^{3}b)\geq 2(a^{4}+b^{2}+c^{4})+4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$
$\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{2}+c^{4})+4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-3(a^{3}b+a^{3}c+b^{3}c+b^{3}a+c^{3}a+c^{3}b)\leq 0$
$\Leftrightarrow (a^{4}+b^{4}+4a^{2}b^{2}-3a^{3}b-3b^{3}a)+(b^{4}+c^{4}+4b^{2}c^{2}-3b^{3}c-3c^{3}b)+(c^{4}+a^{4}+4c^{2}a^{2}-3c^{3}a-3a^{3}c)\leq 0$ (*)
Xét $a^{4}+b^{4}+4a^{2}b^{2}-3a^{3}b-3b^{3}a$
$=(a^{2}+b^{2})^{2}+2a^{2}b^{2}-3ab(a^{2}+b^{2})$
$=(a^{2}+b^{2}-2ab)(a^{2}+b^{2}-ab)$
$=(a-b)^{2}(a^{2}+b^{2}-ab)\geq 0$
Tương tự: $b^{4}+c^{4}+4b^{2}c^{2}-3b^{3}c-3c^{3}b \geq 0$
$ c^{4}+a^{4}+4c^{2}a^{2}-3c^{3}a-3a^{3}c\geq 0$
Suy ra: $a^{4}+b^{4}+4a^{2}b^{2}-3a^{3}b-3b^{3}a)+(b^{4}+c^{4}+4b^{2}c^{2}-3b^{3}c-3c^{3}b)+(c^{4}+a^{4}+4c^{2}a^{2}-3c^{3}a-3a^{3}c)\geq 0$ ( mâu thuẫn với (*))
Hay BĐT cần chứng minh là sai
-.- Bạn thử xem lại đề nhé, phải chứng minh [tex]a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)\leq 6[/tex] chứ

 

[thaofam2001@gmail.com]

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow 3[a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)]\geq 18=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
$\Leftrightarrow 3(a^{3}b+a^{3}c+b^{3}c+b^{3}a+c^{3}a+c^{3}b)\geq 2(a^{4}+b^{2}+c^{4})+4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$
$\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{2}+c^{4})+4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-3(a^{3}b+a^{3}c+b^{3}c+b^{3}a+c^{3}a+c^{3}b)\leq 0$
$\Leftrightarrow (a^{4}+b^{4}+4a^{2}b^{2}-3a^{3}b-3b^{3}a)+(b^{4}+c^{4}+4b^{2}c^{2}-3b^{3}c-3c^{3}b)+(c^{4}+a^{4}+4c^{2}a^{2}-3c^{3}a-3a^{3}c)\leq 0$ (*)
Xét $a^{4}+b^{4}+4a^{2}b^{2}-3a^{3}b-3b^{3}a$
$=(a^{2}+b^{2})^{2}+2a^{2}b^{2}-3ab(a^{2}+b^{2})$
$=(a^{2}+b^{2}-2ab)(a^{2}+b^{2}-ab)$
$=(a-b)^{2}(a^{2}+b^{2}-ab)\geq 0$
Tương tự: $b^{4}+c^{4}+4b^{2}c^{2}-3b^{3}c-3c^{3}b \geq 0$
$ c^{4}+a^{4}+4c^{2}a^{2}-3c^{3}a-3a^{3}c\geq 0$
Suy ra: $a^{4}+b^{4}+4a^{2}b^{2}-3a^{3}b-3b^{3}a)+(b^{4}+c^{4}+4b^{2}c^{2}-3b^{3}c-3c^{3}b)+(c^{4}+a^{4}+4c^{2}a^{2}-3c^{3}a-3a^{3}c)\geq 0$ ( mâu thuẫn với (*))
Hay BĐT cần chứng minh là sai
-.- Bạn thử xem lại đề nhé, phải chứng minh [tex]a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)\leq 6[/tex] chứ

tại sao [tex](a^2+b^2)-2a^2b^2-3ab(a^2+b^2)=(a^2+b^2-2ab)(a^2+b^2-ab)[/tex] vậy bn

 

[Ann Lee]

tại sao [tex](a^2+b^2)-2a^2b^2-3ab(a^2+b^2)=(a^2+b^2-2ab)(a^2+b^2-ab)[/tex] vậy bn

Ý của bạn là $ \color{red}{\text{$(a^2+b^2)^{2}$ }}$ $-2a^2b^2-3ab(a^2+b^2)=(a^2+b^2-2ab)(a^2+b^2-ab)$
Có gì đâu nhỉ Chỉ là phân tích đa thức thành nhân tử thôi mà
$(a^{2}+b^{2})^{2}+2a^{2}b^{2}-3ab(a^{2}+b^{2})$
$=[(a^{2}+b^{2})^{2}-ab(a^{2}+b^{2})]-[2ab(a^{2}+b^{2})-2a^{2}b^{2}]$
$= (a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2}-ab)-2ab(a^{2}+b^{2}-ab)$
$=(a^{2}+b^{2}-2ab)(a^{2}+b^{2}-ab)$