cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Cmr
[tex]4(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3)\geq 9[/tex]
BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow 4(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)-3(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b+c)^{3}$
$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+4(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})\geq (a+b+c)^{3}$
$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+4(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})+6abc$
$\Leftrightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\geq 6abc$ (*)
Lại có: [tex]a^{2}b+bc^{2}\geq 2\sqrt{a^{2}b.bc^{2}}=2abc[/tex]
Tương tự: $b^{2}c+ca^{2}\geq 2abc$
$c^{2}a+ab^{2}\geq 2abc$
Cộng vế với vế 3 BĐT trên => (*) luôn đúng
Đẳng thức xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=1[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
