Toán Chứng minh bất đẳng thức

[Duy Dang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho em hỏi bài này được không ạ:
Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: [tex]\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} \geq ab + bc + ca[/tex]
Cảm ơn mọi người nhiều ạ.

 

[Thánh Lầy Lội]

Bài này ez
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
[tex]VT=\sum \frac{a^{4}}{ab}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca[/tex]

 

[Duy Dang]

Bài này ez
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
[tex]VT=\sum \frac{a^{4}}{ab}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca[/tex]

Mình chưa học về BĐT này nên mới google xong BĐT Cauchy-Schwarz, mình sẽ trình bày đầy đủ hơn, mong bạn xem có lỗi nào không ạ:
[tex]VT = \frac{a^4}{ab} + \frac{b^4}{bc} + \frac{c^4}{ca} \geq \frac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{ab+bc+ca}[/tex]
Vì: [tex](a^2 + b^2 + c^2) \geq ab + bc + ca[/tex] nên:
[tex]VT = \frac{a^4}{ab} + \frac{b^4}{bc} + \frac{c^4}{ca} \geq \frac{(ab + bc + ca)^2}{ab+bc+ca} \geq ab + bc + ca[/tex]
Vậy: [tex]\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} \geq ab + bc + ca[/tex]

 

[Thánh Lầy Lội]

Mình chưa học về BĐT này nên mới google xong BĐT Cauchy-Schwarz, mình sẽ trình bày đầy đủ hơn, mong bạn xem có lỗi nào không ạ:
[tex]VT = \frac{a^4}{ab} + \frac{b^4}{bc} + \frac{c^4}{ca} \geq \frac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{ab+bc+ca}[/tex]
Vì: [tex](a^2 + b^2 + c^2) \geq ab + bc + ca[/tex] nên:
[tex]VT = \frac{a^4}{ab} + \frac{b^4}{bc} + \frac{c^4}{ca} \geq \frac{(ab + bc + ca)^2}{ab+bc+ca} \geq ab + bc + ca[/tex]
Vậy: [tex]\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} \geq ab + bc + ca[/tex]

Đúng rồi đó bạn

 

[baogiang0304]

cách 2 nè: Ta có:[tex]\frac{a^{3}}{b}+ab \geq 2a^{2}[/tex]
[tex]\frac{b^{3}}{c}+bc\geq 2b^{2}[/tex] ;[tex]\frac{c^{3}}{a}+ac\geq 2c^{2}[/tex]
suy ra :[tex]\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}+ab+bc+ac\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ac)[/tex]
suy ra đpcm dấu = xảy ra<=>a=b=c