Toán Chứng minh bất đẳng thức

[joker2802]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)[tex]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq 2\left ( \frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c} \right )[/tex] với [tex]a,b,c> 0[/tex]
2)[tex]\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq 30[/tex] với [tex]a,b,c> 0; a+b+c= 1[/tex]
3)[tex]\frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+abc}+\frac{1}{c^{3}+a^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}[/tex]
với [tex]a,b,c> 0[/tex]

 

[you only live once]

1)[tex]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq 2\left ( \frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c} \right )[/tex] với [tex]a,b,c> 0[/tex]
2)[tex]\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq 30[/tex] với [tex]a,b,c> 0; a+b+c= 1[/tex]
3)[tex]\frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+abc}+\frac{1}{c^{3}+a^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}[/tex]
với [tex]a,b,c> 0[/tex]

1 áp dung bất đẳng thức [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}(a,b>0)[/tex]
ta có [tex]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{a+2b+c}[/tex]
ttu [tex]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\geq \frac{4}{2a+b+c}[/tex]
[tex]\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\geq \frac{4}{a+b+2c}[/tex]
cong vế vs vế các bdt trên ta có dpcm
2. ta có [tex]\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{9}{ab+bc+ac}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{7}{ab+bc+ac}[/tex]
[tex]\geq \frac{9}{(a+b+c )^{2}}+\frac{7}{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=9+21=30[/tex]
dau = xay ra khi a=b=c=1/3
3
ap dung bdt phu (bn tự cm nhé)
[tex]a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b )[/tex]
suy ra [tex]\frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}[/tex]
ttu [tex]\frac{1}{b^{3}+c^{3}+abc}\leq \frac{1}{bc(a+b+c)};\frac{1}{a^{3}+c^{3}+abc}\leq \frac{1}{ac(a+b+c)}[/tex]
cong vế vs vế các bdt trên ta có vt[tex]\leq \frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}[/tex]