Toán Chứng minh bất đẳng thức

[Oanh rùa]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho 2 số thực a, b thoả mãn a+b\geq 2. Chứng minh bất đẳng thức: [tex]a^{4}+b^{4}\geq a^{3}+b^{3}[/tex]
2) Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh:
[tex]\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\leq \frac{a+b+c}{2}[/tex]
3) Chứng minh với mọi a, b, c:
[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^{2}[/tex]
Giải giúp em ạ

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

1) Cho 2 số thực a, b thoả mãn a+b\geq 2. Chứng minh bất đẳng thức: [tex]a^{4}+b^{4}\geq a^{3}+b^{3}[/tex]
2) Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh:
[tex]\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\leq \frac{a+b+c}{2}[/tex]
3) Chứng minh với mọi a, b, c:
[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^{2}[/tex]
Giải giúp em ạ

1.
Ta luôn có: $a^4+b^4\ge a^3b+ab^3$.
Thật vậy, $a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2)\ge 0$ (luôn đúng)
$\Rightarrow 2(a^4+b^4)\ge a^4+b^4+a^3b+ab^3=(a+b)(a^3+b^3)$
Mà $a+b\ge 2$ suy ra đpcm.
Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1$
2.
Ta có: $ab\le \dfrac{(a+b)^2}4\Rightarrow \dfrac{ab}{a+b}\le \dfrac{(a+b)^2}{4(a+b)}=\dfrac{a+b}4$
Tương tự: $\dfrac{bc}{b+c}\le \dfrac{b+c}4; \ \dfrac{ca}{c+a}\le \dfrac{c+a}4$
$\Rightarrow \dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\le \dfrac{2(a+b+c)}4=\dfrac{a+b+c}2$ (đpcm)
Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$
3.
Dễ dàng c/m được $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$
$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\ge a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2\Rightarrow$ đpcm.
Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$