Toán Chứng minh bất đẳng thức

[candyhappydn16]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài : Cho a, b, c >0. Chứng minh
1. a+b+ab+1$$\geq 4\sqrt{ab}$$
2. (a+b)(b+c)(a+c) $$\geq$$8abc
3. $$\frac{(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)}{32a^2}\geq \sqrt{6}$$
4. (a+b+c)$$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 0$$
5. (1+a)(1+b) $$\geq (1+\sqrt{ab})^2$$
6. (1+a)(1+b)(1+c)$$\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$$
7. $$\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c$$
8. $$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt{\frac{ab+bc+ac}{3}}$$

 

[Ann Lee]

Bài : Cho a, b, c >0. Chứng minh
1. a+b+ab+1$$\geq 4\sqrt{ab}$$
2. (a+b)(b+c)(a+c) $$\geq$$8abc
3. $$\frac{(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)}{32a^2}\geq \sqrt{6}$$
4. (a+b+c)$$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 0$$
5. (1+a)(1+b) $$\geq (1+\sqrt{ab})^2$$
6. (1+a)(1+b)(1+c)$$\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$$
7. $$\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c$$
8. $$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt{\frac{ab+bc+ac}{3}}$$

Bài 1: Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số dương
$a+b+ab+1\geq 4\sqrt[4]{a.b.ab.1}=4\sqrt{ab}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=1
Bài 2:
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8\sqrt{a^{2}b^{2}c^{2}}=8abc$ (BĐT Cauchy)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Bài 4: Dấu "=" không xảy ra
$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \left ( \sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}.\frac{1}{\sqrt{c}} \right )^{2}=3^{2}=9> 0$ (BĐT Bunyakovsky)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
Bài 5:
$(1+a)(1+b)=1+a+b+ab\geq 1+2\sqrt{ab}+ab=(1+\sqrt{ab})^{2}$ (BĐT Cauchy)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b
Bài 6: Tương tự bài 5
Bài 7: Áp dụng BĐT Cauchy
$\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c$
C/m tương tự:
$\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq 2a$
$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq 2b$
Cộng vế với vế các BĐT trên => đpcm
Bài 8:
Xét $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0$ với mọi a,b,c
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$ ( biến đổi tương đương là được, mình lười không muốn gõ rõ ra :v)
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)\geq 3(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^{2}}{9}\geq \frac{ab+bc+ca}{3}$
$\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}$ (đpcm)
Đã bổ sung thêm rồi đó @candyhappydn16