Toán Chứng minh bất đẳng thức

candyhappydn16

Học sinh
Thành viên
20 Tháng tám 2014
109
5
26
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài : Cho a, b, c >0. Chứng minh
1. a+b+ab+14ab\geq 4\sqrt{ab}
2. (a+b)(b+c)(a+c) \geq8abc
3. (a+1)(a+2)(a+3)(a+4)32a26\frac{(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)}{32a^2}\geq \sqrt{6}
4. (a+b+c)(1a+1b+1c)0(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 0
5. (1+a)(1+b) (1+ab)2\geq (1+\sqrt{ab})^2
6. (1+a)(1+b)(1+c)(1+abc3)3\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3
7. bca+cab+abca+b+c\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c
8. a+b+c3ab+bc+ac3\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt{\frac{ab+bc+ac}{3}}
 

Ann Lee

Cựu Mod Toán
Thành viên
14 Tháng tám 2017
1,782
2,981
459
Hưng Yên
Bài : Cho a, b, c >0. Chứng minh
1. a+b+ab+14ab\geq 4\sqrt{ab}
2. (a+b)(b+c)(a+c) \geq8abc
3. (a+1)(a+2)(a+3)(a+4)32a26\frac{(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)}{32a^2}\geq \sqrt{6}
4. (a+b+c)(1a+1b+1c)0(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 0
5. (1+a)(1+b) (1+ab)2\geq (1+\sqrt{ab})^2
6. (1+a)(1+b)(1+c)(1+abc3)3\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3
7. bca+cab+abca+b+c\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c
8. a+b+c3ab+bc+ac3\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt{\frac{ab+bc+ac}{3}}
Bài 1: Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số dương
a+b+ab+14a.b.ab.14=4aba+b+ab+1\geq 4\sqrt[4]{a.b.ab.1}=4\sqrt{ab} (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=1
Bài 2:
(a+b)(b+c)(c+a)2ab.2bc.2ca=8a2b2c2=8abc(a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8\sqrt{a^{2}b^{2}c^{2}}=8abc (BĐT Cauchy)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Bài 4: Dấu "=" không xảy ra
(a+b+c)(1a+1b+1c)(a.1a+b.1b+c.1c)2=32=9>0(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \left ( \sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}.\frac{1}{\sqrt{c}} \right )^{2}=3^{2}=9> 0 (BĐT Bunyakovsky)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
Bài 5:
(1+a)(1+b)=1+a+b+ab1+2ab+ab=(1+ab)2(1+a)(1+b)=1+a+b+ab\geq 1+2\sqrt{ab}+ab=(1+\sqrt{ab})^{2} (BĐT Cauchy)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b
Bài 6: Tương tự bài 5
Bài 7: Áp dụng BĐT Cauchy
bca+cab2bca.cab=2c\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c
C/m tương tự:
cab+abc2a\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq 2a
abc+bca2b\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq 2b
Cộng vế với vế các BĐT trên => đpcm
Bài 8:
Xét (ab)2+(bc)2+(ca)20(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0 với mọi a,b,c
a2+b2+c2ab+bc+ca\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca ( biến đổi tương đương là được, mình lười không muốn gõ rõ ra :v)
a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)\geq 3(ab+bc+ca)
(a+b+c)23(ab+bc+ca)\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)
(a+b+c)29ab+bc+ca3\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^{2}}{9}\geq \frac{ab+bc+ca}{3}
a+b+c3ab+bc+ca3\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}} (đpcm)
Đã bổ sung thêm rồi đó @candyhappydn16
 
Last edited:
  • Like
Reactions: candyhappydn16
Top Bottom