Toán Chứng minh bất đẳng thức

[PDK Films]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng
2(a+b+c)\geq \sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1}

 

[Ann Lee]

Viết lại đề:[tex]2(a+b+c)\geq \sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1}[/tex]
Có ab+bc+ca=1
[tex]\Rightarrow \sqrt{a^{2}+1}=\sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \frac{a+b+a+c}{2}=\frac{2a+b+c}{2}[/tex] (BĐT Cauchy)
Tương tự ta đc: [tex]\sqrt{b^{2}+1}\leq \frac{a+2b+c}{2}[/tex]
[tex]\sqrt{c^{2}+1}\leq \frac{a+b+2c}{2}[/tex]
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được [tex]\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1}+\leq \frac{2a+b+c+a+2b+c+a+b+2c}{2}=2(a+b+c)[/tex] (đpcm)