Toán Chứng minh bất đẳng thức

[congminh24]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c dương thỏa mãn:
a + b + c = 12 và biểu thức: M = [tex]\sqrt{3a + 2\sqrt{a} + 1} + \sqrt{3b + 2\sqrt{b} + 1} + \sqrt{3c + 2\sqrt{c} + 1}[/tex]
Chứng minh rằng:
[tex]M \leq 3\sqrt{17}[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Cho a, b, c dương thỏa mãn:
a + b + c = 12 và biểu thức: M = [tex]\sqrt{3a + 2\sqrt{a} + 1} + \sqrt{3b + 2\sqrt{b} + 1} + \sqrt{3c + 2\sqrt{c} + 1}[/tex]
Chứng minh rằng:
[tex]M \leq 3\sqrt{17}[/tex]

Ta có:
$M^2=(\sqrt{3a+2\sqrt{a}+1}+\sqrt{3b+2\sqrt{b}+1}+\sqrt{3c+2\sqrt{c}+1})^2$
$\leq 3[3(a+b+c)+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+3]$
$=117+6(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$
Mà $(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2\leq 3(a+b+c)=36$
$\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq 6$
$\Rightarrow M^2\leq 117+6.6=153$
$\Rightarrow M\leq 3\sqrt{17}$
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=4$