Toán Chứng minh bất đẳng thức

[Chichioppa]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn a+b+c=3
Chứng minh rằng: [tex]\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\geqslant \frac{3}{2}[/tex]
2. Cho [tex]a^2+b^2+c^2=3[/tex]
Chứng minh rằng: [tex]\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\geqslant a+b+c[/tex]

 

[tranvandong08]

Bài 1 :[tex]\dpi{200} \frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}=\frac{a^{2}}{abc+a}+\frac{b^{2}}{abc+b}+\frac{c^{2}}{abc+c}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{3abc+a+b+c}=\frac{(a+b+c)^{2}}{3abc+3}[/tex]
Cần chứng minh [tex]\dpi{200} abc\leqslant 1[/tex]
Ta có :
[tex]\dpi{200} a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc} \Leftrightarrow 3\geqslant 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow abc\leqslant 1[/tex]
=> đpcm

 

[tranhainam1801]

1. Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn a+b+c=3
Chứng minh rằng:

2. Cho

Chứng minh rằng:

1) [TEX]=\frac{a^2}{abc+a}+\frac{b^2}{abc+b}+\frac{c^2}{abc+c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{3abc+3}\geq\frac{3}{2}[/TEX] (do [TEX]abc\geq1[/TEX])
dấu = khi a=b=c=1

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 2:
$\sum \dfrac{2a^2}{a+b^2}
\\\geq \sum \dfrac{2a^2}{\dfrac{a^2+1}{2}+b^2}
\\=\sum \dfrac{4a^2}{a^2+1+2b^2}
\\=\sum \dfrac{4a^4}{a^4+a^2+2a^2b^2}
\\\geq \dfrac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2+(a^2+b^2+c^2)}
\\=\dfrac{4.3^2}{3^2+3}=3$
Dấu '=' khi $a=b=c=1$.