Toán Chứng minh bất đẳng thức

[Hoàng Lĩnh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho hai số a và b. Chứng minh: [tex]a^{2}+b^{2}\geq ab[/tex]
2) Cho hai số a và b. Chứng minh: [tex]a^{4}+b^{2}\geq a^{3}b+ab^{3}[/tex]
3) Cho hai số dương a và b. Chứng minh: [tex]a^{2}b+ab^{2}\leq a^{3}+b^{3}[/tex]
4) cho a, b, c >0. Chứng minh
a) [tex](a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc[/tex]
b) [tex](a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 9abc[tex] c) [tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2[/tex]
d) [tex](a+b)(ab+1)\geq 4ab[/tex]
e) [tex]a+\frac{1}{2}\geq 2,\forall a> 0[/tex]
f) [tex](a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 9abc[/tex]
Mình hơi dở về chứng minh mấy cái này[/tex][/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

1) Cho hai số a và b. Chứng minh: [tex]a^{2}+b^{2}\geq ab[/tex]
2) Cho hai số a và b. Chứng minh: [tex]a^{4}+b^{2}\geq a^{3}b+ab^{3}[/tex]
3) Cho hai số dương a và b. Chứng minh: [tex]a^{2}b+ab^{2}\leq a^{3}+b^{3}[/tex]
4) cho a, b, c >0. Chứng minh
a) [tex](a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc[/tex]
b) [tex](a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 9abc[tex] c) [tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2[/tex]
d) [tex](a+b)(ab+1)\geq 4ab[/tex]
e) [tex]a+\frac{1}{2}\geq 2,\forall a> 0[/tex]
f) [tex](a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 9abc[/tex]
Mình hơi dở về chứng minh mấy cái này[/tex][/tex]

1) $ab$ hay $2ab$ hả bạn?
2)Mk nhĩ là $a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3}$ chứ?
$3)a^{2}b+ab^{2}\leq a^{3}+b^{3}\\\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\geq 0\\\Leftrightarrow a^2(a-b)-b^2(a-b)\geq 0\\\Leftrightarrow (a-b)(a^2-b^2)\geq 0\\\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)\geq 0(luôn \ đúng)$
4)
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$a+b\geq 2\sqrt{ab}$
$b+c\geq 2\sqrt{bc}$
$c+a\geq 2\sqrt{ca}$
=> $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc$
b) $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$
$a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$
=> $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc$
d) $a+b\geq 2\sqrt{ab}$
$ab+1\geq 2\sqrt{ab}$
=> $(a+b)(ab+1)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab}=4ab$
e)Đề sai VD: a=1 => a+1/2=1+1/2=3/2 không ≥2
f) Câu này trên có rồi nhỉ

 

[chi254]

1) Cho hai số a và b. Chứng minh: [tex]a^{2}+b^{2}\geq ab[/tex]
2) Cho hai số a và b. Chứng minh: [tex]a^{4}+b^{2}\geq a^{3}b+ab^{3}[/tex]
3) Cho hai số dương a và b. Chứng minh: [tex]a^{2}b+ab^{2}\leq a^{3}+b^{3}[/tex]
4) cho a, b, c >0. Chứng minh
a) [tex](a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc[/tex]
b) [tex](a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 9abc[tex] c) [tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2[/tex]
d) [tex](a+b)(ab+1)\geq 4ab[/tex]
e) [tex]a+\frac{1}{2}\geq 2,\forall a> 0[/tex]
f) [tex](a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 9abc[/tex]
Mình hơi dở về chứng minh mấy cái này[/tex][/tex]

1)
Ta có : $(a - b)^2 + a^2 + b^2 \geq 0$
$\Leftrightarrow a^2 + b^2 - 2ab + a^2 + b^2 \geq 0$
$\Leftrightarrow 2(a^2 + b^2 - ab) \geq 0$
$\Leftrightarrow a^2 + b^2 - ab \geq 0$
$\Leftrightarrow a^2 + b^2 \geq ab$
Vậy ...