Toán Chứng minh bất đẳng thức

[Kim Kim]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho 3 số không âm thỏa mãn [tex]a\geqslant b\geqslant c[/tex] và [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=3[/tex] Chứng minh rằng
[tex]\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leqslant 1[/tex]
Dấu = xảy ra khi nào

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bạn quy đồng chuyến vế 1 qua ta sẽ được:
[tex]\dfrac{a}{b+2}+\dfrac{b}{c+2}+\dfrac{c}{a+2}-1 \leq 0 \\\Rightarrow \dfrac{a^2c+ab^2+bc^2+2(a^2+b^2+c^2)-abc-8}{(a+2)(b+2)(c+2)} \leq 0 \\\Rightarrow a^2c+ab^2+bc^2+2(a^2+b^2+c^2)-abc-8 \\\Rightarrow a^2c+ab^2+bc^2-2-abc \leq 0[/tex]
do $ a \geq b \geq c$ nên:
[tex]a(a-b)(b-c) \geq 0 \\\Rightarrow (a^2-ab)(b-c) \geq 0 \\\Rightarrow a^2b-a^2c-ab^2+abc \geq 0 \\\Rightarrow a^2c \leq a^2b-ab^2+abc[/tex].
Thay vào trên ta có:
[tex]a^2c+ab^2+bc^2-2-abc \leq a^2b-ab^2+ab^2+abc+bc^2-abc-2 \\=a^2b+bc^2-2 \\DPCM:a^2b+bc^2-2 \leq 0 \\\Rightarrow b(a^2+c^2)-2 \leq 0 \\\Rightarrow b(3-b^2)-2 \leq 0 \\\Rightarrow -(b-1)^2(b+2) \leq 0[/tex]
Điều này hiển nhiên đúng.
Dấu bằng khi $a=b=c=1$.

 

[Kim Kim]

ab+2+bc+2+ca+2−1≤0

Đây là cái cần chứng minh mà

 

[Kim Kim]

ab+2+bc+2+ca+2−1≤0⇒a2c+ab2+bc2+2(a2+b2+c2)−abc−8(a+2)(b+2)(c+2)≤0⇒a2c+ab2+bc2+2(a2+b2+c2)−abc−8

Đề bài yêu cầu chứng minh cái này mà

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Đề bài yêu cầu chứng minh cái này mà

Đây là kiểu chứng minh dạng phản chứng.Giả sử điều đó đúng dẫn tới điều đúng thì điều giả sử đúng.