Toán Chứng minh bất đẳng thức

[Hoàng Lĩnh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a,b>0
[tex](\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}).(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}})\geq 1[/tex]

 

[Trafalgar D Law]

a,b>0
[tex](\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}).(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}})\geq 1[/tex]

ĐKXĐ: a,b>0
Ta có:
[tex](\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}})(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}})[/tex]
[tex]=\frac{\sqrt{a^{3}}+\sqrt{b^{3}}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}[/tex]
[tex]=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}[/tex]
[tex]=\frac{a-\sqrt{ab}+b}{\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}-1\geq 1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\geq 2[/tex] (1)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
[tex]\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\geq 2\sqrt{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}}=2[/tex]
=> BĐT (1) luôn đúng với mọi a,b>0 và dấu "=" xảy ra khi a=b